Si consideri il vettore aleatorio gaussiano standard bidimensionale Z~(0; I2 ) dove I2 = matrice identità bidimensionale
e sia
Y = AZ + b; con A = $ ( ( α , β ),( 1 , 2 ) ) $ ; b = $ ( ( 1 ),( 2 ) ) $
(a.) Calcolare P(Y1 > 2Y2) in funzione di α e β.
(b.) Determinare per quali valori di α e β le componenti Y1 e Y2 del vettore Y risultano
indipendenti.
per il momento l'unica cosa che mi viene in mente di fare è trovare la matrice di covarianza tramite il prodotto della matrice A per la sua trasposta, in questo modo dovrei riuscire a trovare la risposta alla domanda b.
Σ = $ ( ( alpha , beta ),( 1 , 2 ) ) $ * $ ( ( alpha , 1 ),( beta , 2 ) ) $ = $ ( ( alpha^2+beta^2 , alpha+2*beta ),( alpha+2*beta , 5 ) ) $
ora ponendo cov(Y1,Y2)=0 : $ alpha + 2*beta = 0 $ e trovo che le due componenti risultano essere scorrelate e di conseguenza indipendenti per ogni $ alpha = -2*beta $
è corretto ?
grazie in anticipo !
