media e autocorrelazione di un processo stocastico

[davide940]

Dato il processo aleatorio $Y_n$, $n\inZ$ definito da $Y_n = X_n −X_{n−1}$, dove $X_n$, $n\inZ$ è un processo indipendente identicamente distribuito, con $X_n$ v.a. geometriche,$ X_n ~G(p)$.
(a.) Calcolare le funzioni media e autocorrelazione del processo $X_n$.
(b.) Calcolare le funzioni media e autocorrelazione del processo $Y_n$.
(c.) Discutere la stazionarietà del processo $Y_n$.

a)

$E(X_n) = \frac{1}{p}$ perche' $X_n$ e' geometrica

l'autocorrelazione e':

$r_X(n+k,n) = E(X_{n+k} X_n)$

considerando che:

$var(X_n) = \frac{1-p}{p^2}$

quindi:

$ r_X(n+k,n) = E(X_{n+k} X_n) = \frac{1-p}{p^2} \delta(k)$

b)


$E(Y_n) = E(X_n - X_{n-1}) = \frac{1}{p} - \frac{1}{p} = 0 $

l'autocorrelazione puo' essere calcolata usando la formula $r_Y(n+k,n) = r_Y(k,0)$ so:

$r_Y(n+k,n) = E(Y_{n+k} Y_n) = E((X_{n+k} - X_{n+k-1})(X_n - X_{n-1}) ) = E(X_{n+k}X_n - X_{n+k}X_{n-1} - X_{n+k-1}X_n + X_{n+k-1}X_{n-1}) = $

$r_X(k) - r_X(k+1) - r_X(k-1) + r_X(k) =$

$2\frac{1-p}{p^2} \delta(k) -\frac{1-p}{p^2} \delta(k+1) -\frac{1-p}{p^2} \delta(k-1)$

dove il risultato non dipende da $n$ quindi $Y_n$ e' stazionario.

d)

$var(Y_1 + Y_2) = var(X_1 - X_0 + X_2 - X_1) = var(X_2 - X_0) = var(X_2) + var(X_0) = 2\frac{1-p}{p^2}$

perche' $X_n$ sono indipendenti.

Ho molti dubbi riguardo il calcolo delle autocorrelazioni quindi vorrei sapere se l'esercizio e' risolto in modo corretto.