Probabilità:La dama

[jejel]

Su una scacchiera classica della dama (8x8=64 caselle) si dispongono a caso 8 pedoni (si escluda che due pedoni possano insistere sulla stessa casella!) Qual' è la probabiltà che ci sia esattamente un solo pedone in ciascuna riga e in ciascuna colonna della scacchiera?
Ho disegnato la mia scacchiera e disposto in pedoni in diagonale ,le diagonali che posso formare sono 2 allora ho pensato che la probabilità potesse essere $16/64$ ma sono convita che il mio ragionamento è errato !

[Cronovirus]

Il testo ti chiede che ci sia un pedone in ciascuna riga e in ciascuna colonna: non dice che la riga e la colonna devono essere dello stesso "indice" quindi non hai solo quei due casi favorevoli.. Però ci siamo vicini!

Io ho ragionato nel modo seguente: ragionare con la scacchiera è piuttosto rognoso, quindi vediamolo come un array-vettore-lista-insieme di caselle consecutive (o come lo vuoi chiamare.. ) monodimensionale. Quindi abbiamo questo vettore di 64 elementi e sostanzialmente la totalità dei casi è il numero delle combinazioni senza ripetizioni (dato che non vogliamo che due pedoni vadano sulla stessa casella) ovvero $$Bin(64,8) = 4426165368$$
A questo punto dobbiamo trovare i casi favorevoli.. Ho pensato: il primo pedone in quanti modi lo posso mettere? Ho 8 righe e 8 colonne libere, quindi $8*8=64$ posti.
Il secondo posso metterlo in una casella nelle 7 righe e nelle 7 colonne rimaste, quindi $7*7=49$ e così via.. Mettendo tutto insieme
$$\sum_{i=1}^8 i*i = 204$$
casi favorevoli.
In conclusione la probabilità è $204/4426165368 = 4.60896*10^-8$


Mentre sui casi totali sono abbastanza sicuro, sul numero dei casi favorevoli non troppo. Se qualcun altro ci viene in aiuto magari commentando il mio ragionamento..

[nino_]

Secondo me i casi favorevoli sono $8!$

Quindi $p=(8!)/(C(64,8)) = 9,11E-06$ uno su 110.000 circa

[superpippone]

Concordo con il risultato di nino.
Cronovirus: la tua impostazione era corretta. Ma non dovevi fare la somma $64+49+36+.......+1=204$, bensì il prodotto $64*49*36*......*1=(8!)^2$
A questo punto si divide per le permutazioni $(8!)^2/(8!)=8!$ e si ottiene il risultato proposto da nino.

[jejel]

puoi spiegarmi perchè usi le permutazioni al denominatore?

[superpippone]

Perchè se io metto i pedoni (nei seguenti ordini) nelle caselle 1-10-19-28-37-46-55-64 oppure 19-28-64-37-1-10-46-55 oppure 28-64-55-1-10-19-37-46 etc. etc. alla fine è sempre la stessa cosa.
N.B. Io ho parlato solo dei casi favorevoli, poi per trovare la probabilità bisogna dividere per i casi possibili.

[Cronovirus]

Concordo con il risultato di nino.
Cronovirus: la tua impostazione era corretta. Ma non dovevi fare la somma $64+49+36+.......+1=204$, bensì il prodotto $64*49*36*......*1=(8!)^2$
A questo punto si divide per le permutazioni $(8!)^2/(8!)=8!$ e si ottiene il risultato proposto da nino.

Perfetto grazie mille