Econometria Finanziaria Esercizi

[squalllionheart]

Salve ho un altro problema da porre alla vostra gentile attenzione :

Considerate il modello :

$y_t=\mu+\phi_1 y_{t-1}+\phi_2 y_{t-2}+u_t$

Con $u_t$ iid $(0,\sigma^2)$. Assumete sempre che le radici dell'equazione:

$1-\phi_1 L - \phi_2 L^2=(1-\rho_1 L)(1-p_2 L)=0$

Siano sempre reali e distinte.
(a) Definire le condizioni sui parametri tali per cui $y_t$ sia un processo lineare.
(b) Qual è la definizione di questo modello?
(c) Derivare media, varianza e autocovarianza, quest'ultima solamente per il lag $1$, del processo aleatorio $y_t$
(d) Supponete ora che $u_t NID(0,\sigma^2)$ derivare lo stimatore efficiente di $\mu,\phi_1$ e $\phi_2$

(a) Affinchè $y_t$ sia un processo lineare deve essere rispettata la condizione di stazionarietà, si dimostra che la condizione di stazionarietà (Box & Jenkins) si ottiene quando le radici del polinomio caratteristico sono in modulo maggiori di $1$, ovvero sono esterne al cerchio unitario $|rho_1 |>1$ e $|rho_2 |>1$, e si dimostra che per soddisfare tali condizioni devono verificarsi le seguenti disuguaglianze:

$\phi_1+\phi_2<1$
$\phi_2-\phi_1<1$
$1<\phi_2<1$

(b) La definizione di questo modello è un processo autoregressivo di ordine $2$, $AR(2)$
( c ) Per derivare la media posso operare in due modi, (quale è più gradito ?)
Modo 1:
Se il processo è scritto come:

$y_t=\mu+\phi_1 y_{t-1}+\phi_2 y_{t-2}+u_t$

Allora passando alla media ho:

$E[y_t]=E[\mu+\phi_1 y_{t-1}+\phi_2 y_{t-2}+u_t]$

Usando la linearità della media, la media di una costante è una costante e il fatto che $u_t$ sia un white noise:

$E[y_t]=E[\mu+\phi_1 y_{t-1}+\phi_2 y_{t-2}+u_t]=\mu + \phi_1E[y_{t-1}]+ \phi_2 E[y_{t-2}]$

A questo punto uso che il processo gode della proprietà di stazionarietà debole quindi $E[y_{t}]=E[y_{t-1}]=E[y_{t-2}]$ e ottengo:

$E[y_t]=\frac{\mu}{ 1- \phi_1- \phi_2 }$

Modo 2:
Scrivo $y_t$ come una combinazione lineare di white noise:

$y_t=\frac{\mu}{ 1- \phi_1- \phi_2 }+\sum_{u=0}^{\infty} \psi_u \epsilon_{t-u}$

Passando alla media e sfruttando che $\epsilon$ è un white-noise ottengo lo stesso.

Per la varianza arrivo con un po' di passaggi a:

$\gamma_0=\frac{\sigma_{\epsilon} ^2}{1-\phi_1^2}$


L'autocovarianza abbiamo:

$\gamma_1=\frac{\sigma_{\epsilon} ^2 \phi_1}{1-\phi_1^2}$

(d) Non saprei come operare… help!!!

I primi tre punti vanno bene? Grazie

[markowitz]

(a) Affinchè $ y_t $ sia un processo lineare deve essere rispettata la condizione di stazionarietà, si dimostra che la condizione di stazionarietà (Box & Jenkins) si ottiene quando le radici del polinomio caratteristico sono in modulo maggiori di $ 1 $, ovvero sono esterne al cerchio unitario $ |rho_1 |>1 $ e $ |rho_2 |>1 $, e si dimostra che per soddisfare tali condizioni devono verificarsi le seguenti disuguaglianze:

$ \phi_1+\phi_2<1 $
$ \phi_2-\phi_1<1 $
$ 1<\phi_2<1 $

Parli di linearità (ancora) ... per quali valori dei parametri il processo che descrivi sarebbe non lineare ?
La linearità è una cosa, la stazionarietà un'altra. Quello che affermi sulla stazionarietà è corretto. Solo la terza condizione sullo spazio dei parametri mi sa che la devi rivedere.

bene la (b)

( c ) Per derivare la media posso operare in due modi, (quale è più gradito ?)
Modo 1:
Se il processo è scritto come:

$ y_t=\mu+\phi_1 y_{t-1}+\phi_2 y_{t-2}+u_t $

Allora passando alla media ho:

$ E[y_t]=E[\mu+\phi_1 y_{t-1}+\phi_2 y_{t-2}+u_t] $

Usando la linearità della media, la media di una costante è una costante e il fatto che $ u_t $ sia un white noise:

$ E[y_t]=E[\mu+\phi_1 y_{t-1}+\phi_2 y_{t-2}+u_t]=\mu + \phi_1E[y_{t-1}]+ \phi_2 E[y_{t-2}] $

A questo punto uso che il processo gode della proprietà di stazionarietà debole quindi $ E[y_{t}]=E[y_{t-1}]=E[y_{t-2}] $ e ottengo:

$ E[y_t]=\frac{\mu}{ 1- \phi_1- \phi_2 } $

Modo 2:
Scrivo $ y_t $ come una combinazione lineare di white noise:

$ y_t=\frac{\mu}{ 1- \phi_1- \phi_2 }+\sum_{u=0}^{\infty} \psi_u \epsilon_{t-u} $

Passando alla media e sfruttando che $ \epsilon $ è un white-noise ottengo lo stesso.

corretti entrambi ... le preferenze dipendono dal tuo Prof. ... , in generale, a meno di altri vantaggi nel seguito io userei la strada più semplice ... qui la prima

Per la varianza arrivo con un po' di passaggi a:

$ \gamma_0=\frac{\sigma_{\epsilon} ^2}{1-\phi_1^2} $


L'autocovarianza abbiamo:

$ \gamma_1=\frac{\sigma_{\epsilon} ^2 \phi_1}{1-\phi_1^2} $

sono entrambe sbagliate, ti sei persa un pezzo da qualche parte, quelle che scrivi valgono per un AR(1)

(d) Non saprei come operare… help!!!

Non hai nessuna idea? Cosa intendi per efficente? che stimatori avete visto ?

[squalllionheart]

Grazie markoviz per l'aiuto.
Penso che per efficiente intenda quello con varianza minima,tra le dispense del proff affermano il seguente asserto:

Let us consider first the AR(p) case. it can be seen as a dynamic regression . This suggests to use OLS to estimate parameters:

$\hat theta =arg min_{\theta \in \Theta } \sum_{t=p+1}^{T} (y_y-\phi_1 y_{t-1}-...-\phi_p y_{t-p})^2$

This is called conditional sum of squares css estimator as we are practically assuming that $y_1,…,y_p$ given.

Il mio inglese maccheronico mi dice che usa OLS per trovare lo stimatore, e quindi nel mio caso visto che ho un AR(2), avrò che :
$\hat theta =arg min_{\theta \in \Theta } \sum_{t=3}^{T} (y_t-\phi_1 y_{t-1}-\phi_p y_{t-2})^2$

Mentre per $\mu$ uso la media campionaria:
$\hat \mu =\frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} y_t$


Per quanto riguarda il primo punto, penso di aver raccordato le idee, per scrivere un AR come processo lineare, deve essere lo devo scrivere come una combinazione di white noise, e per farlo effettivamente le radici del polinomio caratteristico devono essere in modulo maggiori di $1$ che in termini di coefficienti del processo significa:

$\phi_1+\phi_2<1$
$-\phi_1+\phi_2<1$
$-1<\phi_2<1$

Ho un dubbio di natura teorica, quando definisco sia i processi MA che i AR gli errori sono sempre white noise, o devono essere specificati. Perché sugli appunti del corso di statistica avanzata veniva sempre detto che erano white noise, mentre qui non è chiaro.
Grazie

[squalllionheart]

Marcoviz stavo ripercorrendo il sentiero dei ricordi di questo esercizio. Per quanto riguarda la varianza e l'autocovarianza dove avevi giustamente osservato che erano sbagliate ho pensato che potrei usare la rappresentazione a media mobile e usare i risultati del media mobile oppure le equazioni di yule walker che dici che sia meglio?