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Ciao a tutti,
ho dei problemi che riesco a risolvere empiricamente per casistica ma non formalmente con la teoria della probabilita'.

Problema 1:
"In un sacchetto ci sono tre palline, che possono essere bianche o nere. Ne estraggo una a caso ed è bianca. Qual è la probabilità che tutte e tre le palline siano bianche?"

Problema 2:
"In un sacchetto ci sono tre palline, che possono essere bianche o nere. Ne estraggo una a caso ed è bianca. La rimetto dentro il sacchetto ed estraggo nuovamente una pallina a caso, anche stavolta è bianca. Qual è la probabilità che tutte e tre le palline siano bianche?"

Grazie a chiunque mi sappia aiutare.

Ciao Benvenuto,
esponi pure il tuo metodo così è più facile capire dove hai dubbi o problemi.

Ciao.
Per la prima domanda io direi $1/2$

Magari posta il tuo procedimento, che poi ci confrontiamo.

Mah... se nel sacchetto le palline possono essere (tutte e tre!) o bianche o nere, e estraendone una vedi che è bianca...la probabilità che tutte e tre siano bianche è una certezza, cioè il 100%.

Se invece, come mi pare dica il testo, i casi possibili all'inizio sono $2^3$, una soluzione potrebbe essere quella di superpippone $(p(BBB)=1/2) $ , in quanto l'evento prima estrazione di una pallina bianca è probabile per $ 1/3 $ con due palline nere e una bianca, per $2/3$ con una pallina nera e due bianche e per $ 1 $ con tre palline bianche.

Io propendo però per $ p(BBB)=1/4 $, in quanto degli 8 casi iniziali:
BBB
BNN
NBN
NNB
BBN
BNB
NBB
NNN
con l'estrazione della pallina bianca rimangono come possibili questi 4:
BBB
BNN
BBN
BNB
e uno è quello favorevole.

Anche io opterei per \(P=1/4\), col seguente ragionamento:
una volta estratta la pallina bianca mi rimane un sacchetto con due palline. La probabilità che queste due palline rimaste siano bianche è \(1/4\).

Per quel che riguarda il secondo problema, mi viene da pensare che il risultato dovrebbe condurre ad una probabilità di avere BBB che tende a 1 ove, aumentando le estrazioni con reimbussolamento, dovesse sempre essere estratta una pallina bianca.

Con questo ragionamento, dopo le due estrazioni, la probabilità che nel sacchetto tutte e 3 le palline siano bianche è pari a:
$ 1 - (3/4)^2 = 7/16 $

Mi sono venuti diversi dubbi sulle considerazioni e sul risultato precedente.

Con questo ragionamento:

I casi possibili sono:
BBB = 1 caso
BBN = 3 casi
BNN = 3 casi

Le relative probabilità che venga estratta una pallina bianca sono:
P(BBB) = 1
P(BBN( = 2/3
P(BNN) = 1/3


E la probabilità di avere BBB nel sacchetto è:

-con 1 estrazione bianca = $ 1/(1+3*2/3 +3*1/3) = 1/4 $

-con 2 estrazioni entrambe bianche = $ 1/(1+3*(2/3)^2 + 3*(1/3)^2) = 3/8 $

Sarebbe utile l'intervento di qualcuno più addentro in questa materia...

Sergio ha scritto:Analogo al precedente, con una differenza: le probabilità a priori degli eventi \(E_i\) cambiano a seguito della prima estrazione.
Prima erano \(P(E_1)=1/8,\;P(E_2)=3/8,\;P(E_3)=3/8\) (totale: \(7/8\)).
Si è visto che, dopo la prima estrazione, \(P(E_1)=1/4\). Ripetendo il procedimento per \(P(E_2\mid B),\;P(E_3\mid B)\) si ottiene:
\(\displaystyle P(E_2\mid B)=\frac{2/3\cdot 3/8}{1/2}=1/2,\;P(E_3\mid B)=\frac{1/3\cdot 3/8}{1/2}=1/8\)

$ = (1/3*3/8)/(1/2) = 1/4 $

Il risultato (probabilità dopo la seconda estrazione di una bianca) non è quindi $6/15$ ma $3/8$

Infatti, semplicemente, i casi totali affinché si abbiano due estrazioni successive di una pallina bianca sono 24, di cui 9 con le 3 palline bianche nel sacchetto:
$P(BBB) = 9/24 = 3/8$

BBB 9/9
BBN 4/9
BNB 4/9
NBB 4/9
BNN 1/9
NBN 1/9
NNB 1/9
NNN 0/9

In generale, se abbiamo $ m $ palline in un sacchetto (ciascuna delle quali può essere bianca o nera con probabilità pari al 50%, ad esempio cioè sorteggiata con i lanci di una moneta bilanciata e inserendo una pallina bianca se esce testa e una nera se esce croce), per calcolare la probabilità di avere nel sacchetto tutte palline bianche dopo $n$ estrazioni (con sortita sempre di una pallina bianca e successiva reintroduzione nel sacchetto) si può applicare la seguente formula:

P(BBB) = m^n/sommatoria per k da 1 a m di C(m,k)*k^n