Teoria convergenza integrali

[zita97]

Salve oggi mi assolgono i dubbi che fino a ieri non avevo
Io so studiare la convergenza delle serie ma quando mi ritrovo a dover studiare la convergenza di un integrale mi assolgono i dubbi
Alla fine un integrale è una sommatoria ma non ricordo o meglio non ho capito se la convergenza di un integrale è tale se il limite è 0 o se basta sia un reale finito.
Secondo dubbio, su un esercizio confrontavano l'integrale con 1/x che dicevano essere convergente, ma io vado in confusione perché penso alle sommatorie e 1/x con x^1 è divergente, allora per gli integrali non devo pensare come per le sommatorie? Grazie a chi forse mi risponderà siete dei santi

[Antimius]

Salve oggi mi assolgono i dubbi che fino a ieri non avevo
Alla fine un integrale è una sommatoria ma non ricordo o meglio non ho capito se la convergenza di un integrale è tale se il limite è 0 o se basta sia un reale finito.

Non è esattamente così. Puoi pensare all'integrale intuitivamente come una "somma infinita" fatta su un insieme continuo, mentre per le serie l'insieme è discreto. Però l'integrale non è una "sommatoria". Detto ciò, non ho capito la domanda: di che limite parli?

Secondo dubbio, su un esercizio confrontavano l'integrale con 1/x che dicevano essere convergente, ma io vado in confusione perché penso alle sommatorie e 1/x con x^1 è divergente, allora per gli integrali non devo pensare come per le sommatorie? Grazie a chi forse mi risponderà siete dei santi

Se stai parlando di integrali impropri, l'idea dello studio di convergenza è simile a quella delle serie: guardi il termine generico (integrando in questo caso) e lo confronti con casi notevoli ($1/x^{\alpha}$ in genere). Ora vanno fatte un po' di specificazioni: stiamo usando il criterio del confronto asintotico e questo vale per funzioni a segno (definitivamente) costante, in maniera analoga a quanto succede per le serie. Inoltre, la differenza sostanziale è che per le serie vai a guardare solo che succede a infinito, mentre per gli integrali improprio dipende dall'intervallo di integrazione. Ad esempio puoi considerare $\int_0^1 1/x$ oppure $\int_1^{+\infty} 1/x$: nel primo caso vediamo cosa succede in un intorno di $0$, nel secondo vediamo cosa succede a infinito.
In entrambi i casi, l'integrale improprio di $1/x$ è divergente.

Più in generale hai che, per $\alpha > 0$:
1) $\int_0^1 1/x^{\alpha}$ è convergente solo per $\alpha < 1$
2) $\int_1^{+\infty} 1/x^{\alpha}$ è convergente solo se $\alpha > 1$ (in analogia a quanto accade per le serie armoniche generalizzate)

Osserva che l'estremo di integrazione $1$ è ininfluente sul carattere dell'integrale improprio perché altrove quella funzione è continua e, dunque, integrabile; quindi puoi sostituire un qualunque numero a $1$.

[zita97]

Salve oggi mi assolgono i dubbi che fino a ieri non avevo
Alla fine un integrale è una sommatoria ma non ricordo o meglio non ho capito se la convergenza di un integrale è tale se il limite è 0 o se basta sia un reale finito.

Non è esattamente così. Puoi pensare all'integrale intuitivamente come una "somma infinita" fatta su un insieme continuo, mentre per le serie l'insieme è discreto. Però l'integrale non è una "sommatoria". Detto ciò, non ho capito la domanda: di che limite parli?

Secondo dubbio, su un esercizio confrontavano l'integrale con 1/x che dicevano essere convergente, ma io vado in confusione perché penso alle sommatorie e 1/x con x^1 è divergente, allora per gli integrali non devo pensare come per le sommatorie? Grazie a chi forse mi risponderà siete dei santi

Se stai parlando di integrali impropri, l'idea dello studio di convergenza è simile a quella delle serie: guardi il termine generico (integrando in questo caso) e lo confronti con casi notevoli ($1/x^{\alpha}$ in genere). Ora vanno fatte un po' di specificazioni: stiamo usando il criterio del confronto asintotico e questo vale per funzioni a segno (definitivamente) costante, in maniera analoga a quanto succede per le serie. Inoltre, la differenza sostanziale è che per le serie vai a guardare solo che succede a infinito, mentre per gli integrali improprio dipende dall'intervallo di integrazione. Ad esempio puoi considerare $\int_0^1 1/x$ oppure $\int_1^{+\infty} 1/x$: nel primo caso vediamo cosa succede in un intorno di $0$, nel secondo vediamo cosa succede a infinito.
In entrambi i casi, l'integrale improprio di $1/x$ è divergente.

Più in generale hai che, per $\alpha > 0$:
1) $\int_0^1 1/x^{\alpha}$ è convergente solo per $\alpha < 1$
2) $\int_1^{+\infty} 1/x^{\alpha}$ è convergente solo se $\alpha > 1$ (in analogia a quanto accade per le serie armoniche generalizzate)

Osserva che l'estremo di integrazione $1$ è ininfluente sul carattere dell'integrale improprio perché altrove quella funzione è continua e, dunque, integrabile; quindi puoi sostituire un qualunque numero a $1$.

Ho capito tutto grazie mille fantastico

[Antimius]

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