Aiuto risoluzione esercizi [ Importante , per esame!!! ]

[lecter@91]

Buonasera ragazzi,
ho appena finito di fare ( SPERO) il mio ultimo esame di Analisi 3. Siccome all'orale parte dalla correzione del compito potete vedere se ho ragionato in modo esatto?

1) Mi viene dato un dominio D = {(x,y,z) in R^3 : 0<=z<=4-x^2-y^2 } e un campo vettoriale chiedendomi di calcolare il flusso uscente.

Adesso non mi sono segnato il campo, però ottenevo calcolando la divergenza di F = 3(x^2+y^2). Io poi ho calcolato l'integrale triplo di tale divergenza, utilizzando le c. cilindriche per rappresentare il paraboloide giusto?

In particole ho usato 0<= teta <= 2pigreco, 0<=r<=2,0<=z<=4-r^2 giusto ????


2) Questo ho smadonnato proprio : integrale doppio di [x dxdx] sul dominio dato da D={(x,y)in R^2: x^2+y^4<=1, x>=0}

Ho provato a passare in c. polari ma non mi usciva. Alla fine ho integrato tra 0<=x<= ( 1-y^4) ^1/2 e -1<=y<=1 giusto?


3) Mi veniva data la superficie E= {(x,y,z) in R^3 : x^2+y^2<=1, 1-z=(x^2 + y ^2) ^1/2

mi veniva chiesto di parametrizzarla e io ho fatto così : r(u,v) = u (i) + v(j) + [ 1- (u^2+v^2)^1/2] (k)

di calcolare il versore normale a tale superficie nel punto P (1/2, 0 , 1/2 ) e quindi altre madonne!

Ho calcolato prima ru(u,v) = ( 1,0,u/(u^2+v^2)) e rv(u,v)=(0,1,v/(u^2+v^2))

Ho poi effettuato il prodotto vettoriale tra ru x rv ottenendo = ( -u/(u^2+v^2), -v/(u^2+v^2) , 1 )
Calcolo infine la norma || ru x rv|| = [ (u^2+v^2)/(u^2+v^2)^2 + 1 ] ^1/2

Sostituisco in n i punti u=1/2, v=0, 1-(u^2+v^2)^1/2 = 1/2

e ottengo la normale giusto?

Ultima cosa, mi veniva chiesto di calcolare l'integrale di tale superficie di log(1+(1-z)^2) dS




Vi sarei super grato per l'aiuto, ragazzi è importantissimo!

[lecter@91]

Aiutone ragazzi, è importantissimo!

[lecter@91]

Ragazzo vi scongiuro,ho l'orale pomeriggio! Mi basta solo sapere se il procedimento è giusto!