salve
vorrei un vostro aiuto per questo esercizio, grazie in anticipo per chi mi dedicherà il suo tempo
Classificare gli eventuali punti stazionari della funzione
$f(x,y) = x^2 (y^ 2 − e^(2x))$
nel suo insieme di definizione e determinarne gli estremi assoluti nell’insieme
$ D = {(x,y) ∈ R^2 : −2 ≤ x ≤ 0, −e^x ≤ y ≤ e^x }.$
ecco lo svolgimento
$1.$ dominio: valido su tutto $R^2$
$2.$ calcolo delle derivate
$ f'_{x}=-2 e^(2 x) x-2 e^(2 x) x^2+2 x y^2= 2 x (-e^(2 x) (1+x)+y^2)$
$ f'_{y}= 2xy^2$
$3$ calcolo dei punti critici
$ \{ 2 x (-e^(2 x) (1+x)+y^2)=0$
$\{2xy^2=0 $ //scusate ma non riesco a fare un'unica parentesi
punti generati dal sistema
A $(0,0)$ - B$(-1,0)$ //ho controllato le sol. su wolfram, ma mi da un'ulteriore punto x=0 senza componente y
$4$ derivate parziali seconde e miste per l'hessiano
$f''_{xx}=4 x^2 (e^(2 x) (1+x)-y^2)^2$
$ f''_{yy}=4 x^4y^2$
$ f''_{xy}=f'_{yx}=4xy$
matrice hessiana con punto A(0,0)=0, quindi hessiano nullo non ci dice nulla.
matrice hessiana con punto B(-1,0)=-1/e^2<0 punto di sella
uso il metodo del segno $f(x,y)-f(0,0)= x^2 (y^ 2 − e^(2x))>=0$
disequazione risolvibile sia $<$ che $>$, quindi punto di sella .
fin qui dovrebbe essere tutto corretto...
passiamo alla seconda parte
per il max e min assoluti vincolati dovrei usare il Metodo dei moltiplicatori di Lagrange
$L(x,y,\lambda)=f(x,y)-lambda(x,y)$
il problema è qui, non riesco a costruire la funzione con quel vincolo, ho trovato esempi solo con vincoli del tipo x^2+y^2=1 o cose simili.