min e max assoluti vincolati in due variabili

[domax93]

salve
vorrei un vostro aiuto per questo esercizio, grazie in anticipo per chi mi dedicherà il suo tempo

Classificare gli eventuali punti stazionari della funzione
$f(x,y) = x^2 (y^ 2 − e^(2x))$
nel suo insieme di definizione e determinarne gli estremi assoluti nell’insieme
$ D = {(x,y) ∈ R^2 : −2 ≤ x ≤ 0, −e^x ≤ y ≤ e^x }.$

ecco lo svolgimento
$1.$ dominio: valido su tutto $R^2$

$2.$ calcolo delle derivate
$ f'_{x}=-2 e^(2 x) x-2 e^(2 x) x^2+2 x y^2= 2 x (-e^(2 x) (1+x)+y^2)$
$ f'_{y}= 2xy^2$

$3$ calcolo dei punti critici
$ \{ 2 x (-e^(2 x) (1+x)+y^2)=0$
$\{2xy^2=0 $ //scusate ma non riesco a fare un'unica parentesi


punti generati dal sistema
A $(0,0)$ - B$(-1,0)$ //ho controllato le sol. su wolfram, ma mi da un'ulteriore punto x=0 senza componente y

$4$ derivate parziali seconde e miste per l'hessiano
$f''_{xx}=4 x^2 (e^(2 x) (1+x)-y^2)^2$
$ f''_{yy}=4 x^4y^2$
$ f''_{xy}=f'_{yx}=4xy$

matrice hessiana con punto A(0,0)=0, quindi hessiano nullo non ci dice nulla.
matrice hessiana con punto B(-1,0)=-1/e^2<0 punto di sella
uso il metodo del segno $f(x,y)-f(0,0)= x^2 (y^ 2 − e^(2x))>=0$
disequazione risolvibile sia $<$ che $>$, quindi punto di sella .

fin qui dovrebbe essere tutto corretto...
passiamo alla seconda parte

per il max e min assoluti vincolati dovrei usare il Metodo dei moltiplicatori di Lagrange

$L(x,y,\lambda)=f(x,y)-lambda(x,y)$
il problema è qui, non riesco a costruire la funzione con quel vincolo, ho trovato esempi solo con vincoli del tipo x^2+y^2=1 o cose simili.

[gio73]

Ciao domax

punti generati dal sistema
A $(0,0)$ - B$(-1,0)$ //ho controllato le sol. su wolfram, ma mi da un'ulteriore punto x=0 senza componente y

in effetti se tu metti un qualsiasi punto che abbia l'ascissa uguale a $0$ annulli il gradiente, ciò significa che non solo l'origine è un punto critico, ma tutti i punti che hanno ascissa uguale a $0$ (cioè tutto l'asse $y$) sono punti critici, aren't they?

A me piace fare lo studio del segno, spesso aiuta a risolvere le situazioni: prova a vedere se ti serve.

[domax93]

innanzitutto grazie per la risposta.
quindi ho un terzo punto C?
cordinate x=0 e y=?

[gio73]

No hai infiniti punti critici: tutti quelli che si trovano sull'asse delle ordinate.

[domax93]

quindi un'ulteriore punto da analizzare $ C (0,yo) $,
per quanto riguarda max e min mi sapresti dare qualche dritta?

[gio73]

quindi un'ulteriore punto da analizzare $ C (0,yo) $,

non un punto ma una retta, quella delle ordinate

per quanto riguarda max e min mi sapresti dare qualche dritta?

l'ho già fatto quando ti ho detto di provare a fare lo studio del segno.

[domax93]

quindi senza usare il metodo dei moltiplicatori.... allora provo.... grazie