Esercizi su limiti che non capisco

[jitter]

Ciao Stefano,
$ lim_(x -> 0) log(x/(root(2)(x)+3)) = lim_(x -> 0) log(0/(root(2)(0)+3)) = lim_(x -> 0) log(0/3) = ... $

il denominatore tende a 3 e il numeratore a 0, quindi la frazione tende a 0: non è una forma indeterminata.

[francicko]

Scusa ma ho avuto problemi con il latex, per cui posso facilmente avere sbagliato a trascrivere; Nel post che hai citato ho sbagliato a trascrivere il denominatore, che adesso ho corretto, esso è $x^2-x+1$ e non $x^2+x-1$, quindi il limite richiesto è $lim_(x->infty)((x^2+2x+3)/(x^2-x+1))^(x+3)$, per quanto riguarda la tua domanda , bisogna fare in modo che risulti $x^2+2x+3+Y=x^2-x+1$ ,
ed $Y=-3x-2$ è la forma polinomiale esatta da sostituire affinchè l'identità sia valida , quindi avremo :

$(((x^2+2x+3-3x-2)+(+3x+2))/(x^2-x+1))$ $=((x^2-x+1)/(x^2-x+1))+((3x+2)/(x^2-x+1))$ $=(1+((3x+2)/(x^2-x+1)))$,
ora il $lim_(x->infty)((x^2+2x+3)/(x^2-x+1))^(x+3)$ $=lim_(x->0)(1+(3x+2)/(x^2-x+1))^(x+3)$ dà la forma indeterminata $1^(infty)$ che possiamo eliminare facendo la trasformazione sopra indicata e riportandolo cosi alla nota forma$(1+1/[f(x)])^[f(x)]$

[jitter]

$\lim_{x->0^+} ( \frac{ln(x)}{x^{2-3x}+4x^2} )^5=-\infty$
La soluzione dice anche qui di usare l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi, ma come?

Anche questo non mi pare una forma di indecisione:

$\lim_{x->0^+} ( \frac{ln(0)}{0^+} )^5=$

$\lim_{x->0^+} ( \frac{-infty}{0^+} )^5=-\infty$


Non so, è strano: forse hanno usato forme non indeterminate per mostrare il meccanismo.
Su come risolvere il limiti con le regole sugli infinitesimi non so aiutarti, sarei curiosa di saperlo anch'io...

[francicko]

Per quanto riguarda il limite $lim_(x->0)(x^2log(1+x)+tanx)/(sin(x)+(x)^(1/2)$, si vede ad occhio che tale limite va a $0$,
essendo che siamo nell'intorno di zero , possiamo sostiuire $x$ a $sinx$ a $tanx$ ed a $log(1+x)$, pertanto si ha
$lim_(x->0)(x^3+x)/(x+x^(1/2))$, trascurando gli infinitesimi di ordini superiore, rispettivamente sia a numeratore che a denominatore, avremo $lim_(x->0)(x/x^(1/2))=0$; inoltre già quando sostituisco a $log(x+1)$ la $x$ ho applicato il limite

notevole $lim_(x->0)(log(x+1)/x=1)$.

[francicko]

C'è qualcuno che può verificare se lo svolgimento dei vari limiti è corretto?
grazie!

[stefano86]

Per quanto riguarda il limite $lim_(x->0)(x^2log(1+x)+tanx)/(sin(x)+(x)^(1/2)$, si vede ad occhio che tale limite va a $0$,
essendo che siamo nell'intorno di zero , possiamo sostiuire $x$ a $sinx$ a $tanx$ ed a $log(1+x)$, pertanto si ha
$lim_(x->0)(x^3+x)/(x+x^(1/2))$, trascurando gli infinitesimi di ordini superiore, rispettivamente sia a numeratore che a denominatore, avremo $lim_(x->0)(x/x^(1/2))=0$; inoltre già quando sostituisco a $log(x+1)$ la $x$ ho applicato il limite

notevole $lim_(x->0)(log(x+1)/x=1)$.

Ciao, scusa ma sostituendo la $x$ (cioè $0$) a $sin(x), tan(x)$ e $ln(1+x)$ ottengo $0/sqrt(x)$, no?

[francicko]

Ciao, scusa ma sostituendo la $x$ (cioè $0$) a $sin(x), tan(x)$ e $ln(1+x)$ ottengo $0/sqrt(x)$, no?

Attenzione, quando sostituisco $0$ ad $x$ debbo sostituirlo sia a numeratore che a denominatore, quindi ho ancora una forma indeterminata $0/(sqrt0)=0/0$, che però posso eliminare facilmente, osservando che nel rapporto $x/sqrtx$, per $x->0$, la funzione $x$ tende a $0$ più velocemente di $sqrtx$, cioè per dirla in termini di infinitesimi, $x$ risulta un infinitesimo di ordine superiore rispetto ad $sqrtx$, pertanto il rapporto tende definitivamente a $0$.
Per far vedere quanto detto sopra, scriveremo $x/sqrtx=(x=x^(1/2+1/2)=x^(1/2)x^(1/2))/x^(1/2)=x^(1/2)$, e da qui sostituendo abbiamo $0^(1/2)=0$, oppure per dirla in modo equivalente razionalizzando, cioè, $x/sqrtx=(xsqrtx)/(sqrtxsqrtx)=(xsqrtx)/x=sqrtx$ e sostituendo si ha $sqrtx=0$.
Spero di essere stato chiaro ed esaudiente nella risposta, naturalmente essendo io solo un profano in materia, ti prego di prendere le cose che affermo, con beneficio di inventario, magari aspettando qualche parere di persone più competenti.
Saluti!