Funzione invertibile

[stefano86]

Ciao, devo risolvere questo esercizio:

Sia $k in RR$, determinare per quali valori di $k$ la funzione $g$ definita da:
$g(x)={(2+sqrt(x+4),x>=0),(k-e^x, x<0):}$
è invertibile su tutto $RR$.
Per tali valori scrivere dominio e immagine della funzione inversa $g^(-1)$.

Quindi, per logica, troverei $g'(x)$ e poi la porrei $>=0$, ma è giusto come procedimento? E come mi comporto con la $k$?
Ovvero, qual'è la derivata di $g(x)$?

Grazie

[dissonance]

Meglio disegnare un grafico approssimativo di \(g\). Qui non è tanto questione di derivate quanto di capire cosa succede nella giunzione \(x=0\).

[axpgn]

La prima ha come immagine $[4,+infty)$ ed è monotona crescente mentre $-e^x$ ha come immagine $(-1,0)$ ed è monotona decrescente, quindi tutte e due invertibili (nei loro domini).
Perciò per $k<4$ la funzione è invertibile.

Cordialmente, Alex

[dissonance]

@Alex: No, la seconda (quella con l'esponenziale) è sbagliata. Ma lascia che sia Stefano a fare l'esercizio.

[stefano86]

Meglio disegnare un grafico approssimativo di \(g\). Qui non è tanto questione di derivate quanto di capire cosa succede nella giunzione \(x=0\).

Grazie per la risposta. Una volta che ho fatto il grafico come procedo?

[axpgn]

@dissonance
In effetti il range di $k$ è un po' più ristretto ... ... (se ho riflettuto bene su quello che hai detto)

[stefano86]

Mmm non c'è un procedimento matematico più "sicuro" del metodo grafico?