Convergenza di una serie

[alevise1992]

Ciao a tutti

Mi è stato richiesto di calcolare la convergenza della seguente serie:

$ sum_(n=0) root(2)(|x|^(2n)+|2x|^n) $ fino ad infinito.

Non riesco a capire come procedere, ovvero non riesco a ricondurmi a forme note per poi riuscire a semplificare il tutto. Potreste darmi dei suggerimenti?

Grazie infinite

[ostrogoto]

$ sum_(n=0)^(+oo)sqrt(|x|^(2n)+|2x|^n)=sum_(n=0)^(+oo)sqrt(|x|^(2n)(1+|2x|^n/|x|^(2n)) $

[alevise1992]

$ sum_(n=0)^(+oo) sqrt(|x|^(2n)(1+|2x|^n/|x|^(2n)) $


$ sum_(n=0)^(+oo) |x|^(n) sqrt((1+|2x|^n/|x|^(2n)) $


$ sum_(n=0)^(+oo) |x|^(n) sqrt(1+ (|(2x)/x^2|^(n))) $


$ sum_(n=0)^(+oo) |x|^(n) sqrt(1+ (|2/x|^(n))) $

è corretto proseguire così? o devo seguire un'altra strada??

[ostrogoto]

Scusa ho fatto un errore: raccogli $ |2x|^n $ invece di $ |x|^(2n) $ cosi:

$ sqrt(|x|^(2n)+|2x|^n)=(sqrt(|2x|))^nsqrt(1+(|x|/2)^n) $

$ (sqrt(|2x|))^n<=(sqrt(|2x|))^nsqrt(1+(|x|/2)^n) $ quindi per $ sqrt(|2x|)>1 $ cioe' $ |x|>=1/2 $ la serie diverge per il criterio del confronto

$ (sqrt(|2x|))^nsqrt(1+(|x|/2)^n)~(sqrt(|2x|)) $ serie geometrica convergente per $ |x|<1/2 $ . Quindi per questi valori la serie data converge. Nota che la relazione asintotica vale per solo per |x|<2.

[alevise1992]

Beh ottimo direi grazie mille per la soluzione Mi hai dato un nuovo metodo per risolvere questi tipi di serie