campi vettoriali e il loro dominio

[alessandrof10]

ciao ragazzi eccomi qui con nuovi dubbi allora sto studiando i campi vettoriali e in poche parole vi dico un po di teoria allora il mio obiettivo e quello di determinare se un campo è conservativo cioè se esiste un potenziale U t.c il gradU=F poi un teorema mi dice che se un campo è irrotazionale allora è conservativo sotto ipotesi che il campo econtenuto in un insieme SEMPLICEMENTE CONNESSO (in poche parole il campo deve essere continuo ) da qui mi sorge il problema io ho un campo

$F={x/(zsqrt(x^2+y^2)),y/(zsqrt(x^2+y^2)),-sqrt(x^2+y^2)/z^2}$ questo campo vettoriale non è continuo si vede banalmente che sono funzioni razionali nello spazio adesso qui entra il concetto di campo conservativo locale cioè anche se in tutto $RR^3$non è conservativo ma se io prendo dei sotto insiemi esso è conservativo percio dovrei scrivere il dominio di queste funzioni a finche quello che faccia abbia senso cioè devo scrivere $RR^3-{...}$ le parti del dominio che in in r3 non ho mai scritto ma intuzione mi porta a dire che ogni denominatore deve essere diverso da zero quindi

$zsqrt(x^2+y^2)!=0$
$z^2!=0$
per z=0 so che è il piano z nell origine mentre quella funzione rappresenta tutto asse z ???

il mio scopo è quello di fare un disegno e vedere dove le curve ammettono potenziale e per fare questo devo vedere quali sono le zone dei piani dove non posso disegnare le mie curve

[Nietzsche610]

Come hai giustamente detto il campo sarà conservativo al più dove valgono le condizioni:

$\{(zsqrt(x^2+y^2)>0),(z^2!=0):}$.

Se quadri la prima, ottieni $z^2(x^2+y^2)>0$; dato che la seconda impone $z^2!=0$, è lecito dividere la prima per $z^2$, quindi ottieni di fatto:

$\{(x^2+y^2>0),(z!=0):}$.

L'equazione $x^2+y^2=K>0$ rappresenta una circonferenza di raggio $sqrt(K)$ con centro l'orginie.
Le condizioni dicono che le componenti del campo (tutte e tre insieme) sono continue in tutto lo spazio eccetto il piano $z=0$, che è quello che descrive il piano (xy) in $2D$ ed eccetto l'origine di ciascun piano $z=\alpha$. Quindi ovunque tranne il piano $z=0$ e la retta che descrive l'asse $z$.

[alessandrof10]

cmq grazie della risposta ma $z!=0$ è un piano è in particolare il piano xy quindi non è un punto dell origine e poi x^2+y^2!=0 non ho capito quale parte spazio rappresenta

[Nietzsche610]

Ti ho scritto quello che hai chiesto nel post precedente, modificandolo!