Integrale di superficie

[Fab527]

Posso sempre esprimere una superficie come superficie cartesiana? Inoltre, come imposto un esercizio del genere:
"Determinare quella parte di superficie cilindrica di equazione $ x^2+y^2=2y $ che si trova dentro la superficie sferica $ x^2+y^2+z^2=4 $ ."

Vi ringrazio in anticipo, sto studiando l'argomento ma c'è penuria di esempi...

[ciampax]

Posso sempre esprimere una superficie come superficie cartesiana? Inoltre, come imposto un esercizio del genere:
"Determinare quella parte di superficie cilindrica di equazione $ x^2+y^2=2y $ che si trova dentro la superficie sferica $ x^2+y^2+z^2=4 $ ."

Vi ringrazio in anticipo, sto studiando l'argomento ma c'è penuria di esempi...

E cosa sarebbe mai una "superficie cartesiana"? Semmai tramite la "sua equazione cartesiana", e la risposta è "ovvio che sì".
Per quanto riguarda l'esercizio, invece, quello che devi calcolare è un integrale di superficie: in particolare della porzione di cilindro che si trova internamente alla sfera data. Al fine di poter scrivere l'integrale corretto, con le giuste limitazioni, devi passare necessariamente ad una parametrizzazione della superficie.
Conosci la Teoria e "le formule" collegate?

[Fab527]

Per quanto riguarda l'esercizio, invece, quello che devi calcolare è un integrale di superficie: in particolare della porzione di cilindro che si trova internamente alla sfera data. Al fine di poter scrivere l'integrale corretto, con le giuste limitazioni, devi passare necessariamente ad una parametrizzazione della superficie.
Conosci la Teoria e "le formule" collegate?

Conosco la teoria, ma ti sarei grato se mi indicassi come impostare l'esercizio.

[vict85]

E cosa sarebbe mai una "superficie cartesiana"? Semmai tramite la "sua equazione cartesiana", e la risposta è "ovvio che sì".

a me non risulta che tutte le superfici possano essere globalmente descritte attraverso una sola equazione. Seppur certamente possano essere descritte localmente.

[EDIT] Ripensandoci penso che dipenda da che definizione si usi di superfici.

[vict85]

"Determinare quella parte di superficie cilindrica di equazione $ x^2+y^2=2y $ che si trova dentro la superficie sferica $ x^2+y^2+z^2=4 $ ."

Vi ringrazio in anticipo, sto studiando l'argomento ma c'è penuria di esempi...

Per prima cosa scrivi il cilindro in una forma più esplicativa:
\(\displaystyle \begin{align} x^2+y^2-2y &= 0 \\
x^2+y^2-2y+1 &= 1 \\
x^2 + (y-1)^2 &= 1
\end{align} \)
da cui puoi dedurre facilmente la forma del cilindro e visualizzare il problema. Nota che i valori di \(x\) e \(y\) sono tali che \(-1\le x\le 1\) e \(0\le y\le 2\). Ora che hai visualizzato il cilindro, ritorna alla formula iniziale . Infatti è probabilmente meglio convertire entrambe le equazioni in coordinate sferiche centrate nell'origine.

[ciampax]

E cosa sarebbe mai una "superficie cartesiana"? Semmai tramite la "sua equazione cartesiana", e la risposta è "ovvio che sì".

a me non risulta che tutte le superfici possano essere globalmente descritte attraverso una sola equazione. Seppur certamente possano essere descritte localmente.

[EDIT] Ripensandoci penso che dipenda da che definizione si usi di superfici.

Facevo un riferimento alla domanda, non ero sceso nello specifico.

[vict85]

Si, me ne ero reso conto dopo.

[Fab527]

"Determinare quella parte di superficie cilindrica di equazione $ x^2+y^2=2y $ che si trova dentro la superficie sferica $ x^2+y^2+z^2=4 $ ."

Vi ringrazio in anticipo, sto studiando l'argomento ma c'è penuria di esempi...

Per prima cosa scrivi il cilindro in una forma più esplicativa:
\(\displaystyle \begin{align} x^2+y^2-2y &= 0 \\
x^2+y^2-2y+1 &= 1 \\
x^2 + (y-1)^2 &= 1
\end{align} \)
da cui puoi dedurre facilmente la forma del cilindro e visualizzare il problema. Nota che i valori di \(x\) e \(y\) sono tali che \(-1\le x\le 1\) e \(0\le y\le 2\). Ora che hai visualizzato il cilindro, ritorna alla formula iniziale . Infatti è probabilmente meglio convertire entrambe le equazioni in coordinate sferiche centrate nell'origine.

Sono arrivato a fare questo:

$ r(x,y)=(x,y,x^2+y^2-2y) $
$ ||r_x xx r_y||=sqrt(1+4x^2+4y^2+4-8y) $
$ A=int int_(x^2+y^2+z^2<=4) sqrt(1+4x^2+4y^2+4-8y)dxdy $

passando in coordinate sferiche centrate nell'origine come mi hai consigliato

$ rho^2sin^2phicos^2theta+rho^2sin^2phisin^2theta+rho^2cos^2phi<=4 $ da cui $ rho^2<=4 $ e $ 0<=rho<=2 $ .

Come faccio a trovare gli altri due intervalli? $ phi $ direi dal disegno che è probabilmente compreso tra $ 0 $ e $ pi $, ma per $ theta $ non saprei...