Esercizio su integrale triplo

[Fab527]

"Sia $ A={(x,y,z)inR^3:x^2+y^2<=z^2,z>=0,(x-1)^2+y^2+z^2<=1} $ e sia $ f:R^3->R $ definita da $ f(x,y,z)=z $ . Calcolare $ int_(A) f(x,y,z) dxdydz $ "

Se non sbaglio, si tratta di una sfera centrata in (1,0,0) e di raggio 1, e della parte positiva di un cono che la interseca parzialmente: il volume su cui integrare dovrebbe essere perciò una specie di calotta sferica (anche se è inclinata e ha la base curva). Come posso svolgere questa integrazione? Le coordinate sferiche non mi sembrerebbero d'aiuto, appunto perchè il punto di intersezione tra sfera e cono non è una z fissa ma varia con x e y...

[21zuclo]

"Sia $ A={(x,y,z)inR^3:x^2+y^2<=z^2,z>=0,(x-1)^2+y^2+z^2<=1} $ e sia $ f:R^3->R $ definita da $ f(x,y,z)=z $ . Calcolare $ int_(A) f(x,y,z) dxdydz $ "

$(x-1)^2+y^2+z^2<=1\to x^2+y^2+z^2\leq 2x$ (ho solamente fatto i calcoli e ho portato dall'altra parte il $2x$)

ora con le coordinate sferiche

$ { ( x=\rho\sin\phi\cos\theta ),( y=\rho\sin\phi\sin\theta ),( z=\rho\cos\phi ):} $

hai che..sostituendo le coordinate ti viene
$ \rho^2\sin^2phi\leq \rho^2cos^2\phi $ poi , $ \rho \cosphi\geq 0 $ ed infine ,$ \rho^2\leq 2\rho \sinphi\cos\theta $

quindi si ha .. $ { ( \sin^2\phi\leq \cos^2\phi ),( \cos\phi\geq 0 ):} \to \phi \in [0,\pi/4] $

poi $ \rho\in[0,2 \sin\phi\cos\theta] $ e infine $ \theta \in [0,2\pi] $

Ah NON ti scordare lo Jacobiano!

Perché $\phi \in [0,\pi/4]$ ?
da qui $\sin^2\phi\leq \cos^2\phi $ sostituisci $\cos^2\phi =1-\sin^2\phi$