Concetti campi vettoriali

[alessandrof10]

ciao ragazzi vorrei delle conferme su concetti dei campi vettoriali applicati ad esercizi.

allora se io ho un campo F ed esso e irrotazionale su un insieme semplicemente connesso affermo che il campo è conservativo quindi mi trovo la sua primitiva U. se devo calcolarmi quindi il lavoro compito su una curva da A fino a B basta che faccio U(a)-U(b) giusto???

se invece il campo non irrotazionale affermo subito che il campo non è conservativo quindi esso non ha un potenziale U giusto?? e per calcolarmi il lavoro su una curva che va da A fino B devo calcolarmi integrale curvilineo del mio campo F della curva parametrizzata

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ciao

allora se io ho un campo F ed esso e irrotazionale su un insieme semplicemente connesso affermo che il campo è conservativo quindi mi trovo la sua primitiva U. se devo calcolarmi quindi il lavoro compito su una curva da A fino a B basta che faccio U(a)-U(b) giusto???

si, la stessa definizione di conservatività di un campo sottolinea che il lavoro compiuto lungo un dato percorso è indipendente dal percorso compiuto, ma dipende solo dai punti iniziale e finale del percorso.

osservazione. si noti che l'aggettivo conservativo è un po' fuorviante, poichè potrebbe indurre a pensare che "qualcosa" si conservi nel tempo, cosa ovviamente falsa. In sintesi , conservatività $ \ne f(t) $.

se invece il campo non irrotazionale affermo subito che il campo non è conservativo quindi esso non ha un potenziale U giusto?? e per calcolarmi il lavoro su una curva che va da A fino B devo calcolarmi integrale curvilineo del mio campo F della curva parametrizzata

si, la condizione $\mathbf{\nabla}×\vec{F}\ne 0$ esclude l'esistenza della funzione potenziale.

osservazione. qualora il campo sia irrotazionale su un insieme che non è semplicemente connesso, quest'ultimo può, a volte, suddividersi in sottoinsiemi semplicemente connessi, dove il campo irrotazionale risulterà localmente conservativo. In tali insiemi puoi usare la funzione potenziale per il calcolo del lavoro. Altra cosa che alcuni reputano scontata, ma da ricordare: ovviamente il percorso deve essere interamente collocato all'interno di questi sottoinsiemi semplicemente connessi.

ciao

[alessandrof10]

grazie della risposta mi è tutto chiaro