Limite derivata

[cicciapallina]

ciao a tutti!

Ho una funzione derivabile tale che $f(0)=0 $ e $f'(x)=1/sqrt(1+x^6)$

Devo dimostrare che esiste finito il $ lim_(x->+oo)f(x)$
Se so che la derivata tende a zero cosa posso dire della funzione?

[Rigel]

Per il teorema di Torricelli sai che
\[
f(x) = \int_0^x \frac{1}{\sqrt{1+t^6}}\, dt\,.
\]
La richiesta che esista finito il limite \(\lim_{x\to +\infty} f(x)\) si traduce quindi in una condizione di convergenza di un integrale improprio.

[cicciapallina]

Quindi siccome $ sqrt (1+x^6) > |x|^3 $ per ogni $x$ avrò
$ lim_(x ->+oo) int_(0)^(x) 1/sqrt(1+x^6)dx <lim_(x->+oo)int_(0)^(x)1/x^3=lim_(x->+oo)-1/(2x^2)=0 $ ?

C è qualcosa che non mi convince però...

[Rigel]

Ti conviene spezzare l'integrale improprio in un integrale su \([0,1]\) (che è un ordinario integrale di Riemann, dunque non dà problemi) più l'integrale improprio su \([1, +\infty)\). Per quest'ultimo puoi usare la stima che hai scritto (calcolando però correttamente l'integrale):
\[
\int_1^x \frac{1}{\sqrt{1+t^6}}\, dt > \int_1^x \frac{1}{t^3}\, dt = \frac{1}{2} - \frac{1}{2x^2}\,, \qquad x>1.
\]

[cicciapallina]

Ok. Perchè non posso usare la stima su $[0,+oo]$?

[Rigel]

Ok. Perchè non posso usare la stima su $[0,+oo]$?

Perché la funzione \(1/t^3\) non è integrabile in senso improprio in un intorno dell'origine.