Valori di aderenza di una successione

[Antimius]

Studiando topologia, mi è venuto un dubbio su un argomento che avevo fatto ad analisi, precisamente i valori di aderenza di una successione. Ora mi spiego meglio, usando le definizioni dei miei testi.
Sia $X$ uno spazio topologico e $S$ un suo sottoinsieme. Denotiamo con $bar(S)$ la sua chiusura, cioè il più piccolo sottoinsieme chiuso di $X$ contenente $S$. I punti di $bar(S)$ si chiamano punti di aderenza di $S$.
Si dimostra che $x in X$ è aderente a $S$ se e solo se per ogni intorno $N$ di $x$ si ha $NnnS!=O/$.
Fin qui non ho problemi.

Caliamoci in $RR$. Ricordo dal corso di analisi che $a in RR$ si dice valore di aderenza di una successione $a_n$ se:
$AA\epsilon>0$, l'insieme ${n in NN: |a_n-a|<\epsilon}$ è infinito.
Si dimostra che questa condizione è equivalente a dire che $a in RR$ è un punto di accumulazione oppure ${n in NN : a_n=a}$ è infinito.

Il mio dubbio è questo: se io ho $RR$ con l'usuale topologia euclidea e considero $S={a_n}$ ho che anche i punti isolati sono di aderenza, mentre per la seconda definizione solo i "punti limite" sono valori di aderenza.
Ovviamente, un valore di aderenza è anche un punto di aderenza.

Allora, la mia domanda è questa: sono io che mi sto facendo troppi problemi solo per l'assonanza nei nomi e sono due concetti distinti?

[dissonance]

Il problema è che, come dicevamo in un altro topic, non c'è piena universalità nelle notazioni. Sono concetti quasi uguali ma non uguali, come ti sei appena accorto. Per questo io tendo a chiamare "punti limite" di una successione quelli che tu hai chiamato "valori di aderenza" e di riservare il termine "aderenza" al significato più strettamente topologico di "chiusura". Ma non è universale, devi capire dal contesto cosa si intende.

[Antimius]

Ah ok, grazie della puntualizzazione
Sì, anche io infatti, preferirei chiamarli punti limite. Anche perché, è quello che sono xD

[asromavale]

posto la dimostrazione del seguente teorema nella speranza che qualcuno risolva il mio dubbio
teorema :
il numero $a$ $ in R $ è valore d' aderenza per $a_n$ se e solo se $a$ è punto di accumulazione per A (l' insieme costituito dagli elementi di $a_n$) oppure è un elemento della successione che si ripete infinite volte , cioè $ {n in NN: a_n=a} $ è infinito.
dimostrazione :
se $a$ è valore d' aderenza per $a_n$,fissato $epsilon>0$,l'insieme $ {n in NN: |a_n-a|<\epsilon} $ è infinito;allora,se $a$ non si ripete infinite volte,risulta infinito anche l'insieme $ {n in NN: |a_n-a|<\epsilon,a_n!=a} $ e dunque nel generico intorno di $a$ vi sono infiniti elementi di $A$ distinti da $a$ stesso,ovvero $a$ è di accumulazione per $A$.
Viceversa, se $a$ è di accumulazione per $A$, per ogni $epsilon>0$, all'intorno $(a-epsilon,a+epsilon)$ di $a$ appartengono infiniti elementi $a_n$ e perciò risulta infinito l'insieme costituito dai loro indici $n $ ,cioè $a$ è valore di aderenza per $a_n$. se poi $a$ si ripete infinite volte in $a_n$ è ovvio che $a$ è valore di aderenza di $a_n$.

il mio dubbio è quando dice "se $a$ è di accumulazione per $A$, per ogni $epsilon>0$, all'intorno $(a-epsilon,a+epsilon)$ di $a$ appartengono infiniti elementi $a_n$";io so per definizione che $a$ è punto di accumulazione per l'insieme $A$ se in ogni intorno di $a$ del tipo $(a-epsilon,a+epsilon)$ cade almeno un punto (non infiniti!)di $A$ distinto da $a$.come mi spiego allora l' implicazione citata?