Un iperpiano è trascurabile

[Plepp]

Salve ragazzi

Per pura curiosità mi chiedevo se fosse possibile, magari senza sfasciarsi la schiena di contazzi, dimostrare che un iperpiano di $RR^n$ ha misura di Lebesgue nulla evitando di utilizzare l'invarianza della misura per rotazioni e tralsazioni¹. Idee?

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Note

1. ...ché altrimenti è facile: l'iperpiano $pi:\ x_n=0$ lo posso scrivere come "limite" di una successione crescente di "parallelepipedi" di altezza zero, cioè
   \[\pi=\bigcup_{k=1}^\infty Q_k\qquad Q_k:=[-k,k]^{n-1}\times \{0\}\qquad Q_k\subseteq Q_{k+1}\qquad m(Q_k)\equiv 0\]
   dunque
   \[m(\pi)=\lim_{k\to\infty }m(Q_k)=0\]
   Il caso generale seguirebbe da questo, dato che ogni altro iperpiano si ottiene da $pi$ mediante opportune rotazioni e traslazioni. ↑

[Rigel]

Non ho capito il problema: il volume di un parallelepipedo è invariante per roto-traslazioni.
Se usi ricoprimenti fatti da parallelepipedi, non è quindi restrittivo supporre che il tuo iperpiano sia \(x_n = 0\).

[Plepp]

Ciao Rigel! Cerco di spiegarmi meglio.

Se utilizzo l'invarianza per rototraslazioni, come dici, posso limitarmi a mostrare che uno degli iperpiani coordinati ha misura nulla, come ho fatto nel post precedente, ed ho finito.

Facciamo finta di non sapere che la misura è invariante per rotazioni e traslazioni: come dimostriamo che un generico iperpiano ha misura zero?

[Rigel]

Facciamo finta di non sapere che la misura è invariante per rotazioni e traslazioni: come dimostriamo che un generico iperpiano ha misura zero?

Il punto è che non serve sapere che la misura di Lebesgue è invariante per roto-traslazioni; basta sapere che il volume di un parallelepipedo lo è (in senso classico). A meno che tu non voglia assumere nemmeno l'invarianza classica dei volumi.

Chiaramente, per usare questo tipo di argomento, l'iperpiano va ricoperto con una successione di parallelepipedi di volume piccolo, ma non nullo; ad esempio si può usare
\[
R_k = [-k, k]^{n-1}\times[-\epsilon k^{-n-1}, \epsilon k^{-n-1}],
\]
con \(\epsilon > 0\) fissato. In tal modo, posto \(R = \bigcup_{k\geq 1} R_k\), avresti che \(R\) ricopre l'iperpiano e
\[
|R| \leq \sum_k |R_k| = 2^n \epsilon \sum_k \frac{1}{k^2} = C\epsilon.
\]

[Plepp]

A meno che tu non voglia assumere nemmeno l'invarianza classica dei volumi.

L'invarianza dei volumi (di parallelepipedi) per traslazioni è una sciocchezza e ce l'ho tra le "armi disponibili". Ma quella per rotazioni come la dimostro "a mano"?

Comunque, spiego meglio l'origine del problema: sto dimostrando che se $T$ è una qualunque applicazione lineare di $RR^n$ in sé, allora esiste una costante $\Delta\ge 0$ tale che
\[m(T(E))=\Delta m(E)\]
per ogni insieme misurabile $E\subseteq RR^n$. Più precisamente, il prof. ha distinto due casi: $T$ singolare, $T$ non singolare. Il primo caso è stato praticamente lasciato per esercizio, e c'è da provare che $Delta=0$; se $T$ è singolare, $T(RR^n)$ è contenuto in un iperpiano: ho pensato quindi di limitarmi a dimostrare che un iperpiano ha misura zero.

Solo qualche teorema più tardi si scopre che $\Delta=|det T|$, da cui si deduce l'invarianza della misura per rotazioni, che mi tornerebbe utile nella dimostrazione del primo fatto.

[Rigel]

Ho capito.
Ti propongo un'altra dimostrazione, sperando che ti piaccia
Supponiamo, senza ledere la generalità, che il nostro iperpiano \(H\) sia del tipo
\[
x^n = \sum_{i=1}^{n-1} a_i x^i =: \varphi(x^1,\ldots,x^{n-1})\,.
\]
FIssiamo \(\epsilon > 0\).
Per ogni \(k\) intero positivo, sia \(\epsilon_k := \epsilon / k^{n+1}\). Denotiamo con \((\mathbf{y}_j)_{j=1,\ldots,N_k}\subset\mathbb{R}^{n-1}\) i nodi di una griglia di \([-k,k]^{n-1}\) di passo \(\epsilon_k\), e siano \(\mathbf{x}_j = (\mathbf{y}_j, \varphi(\mathbf{y}_j)\) i corrispondenti punti sull'iperpiano.
Il numero \(N_k\) di punti della griglia sarà dato da
\[
N_k \simeq \left(\frac{2k}{\epsilon_k}\right)^{n-1}.
\]
Inoltre, due punti \(\mathbf{x}_j, \mathbf{x}_k\) adiacenti sull'iperpiano avranno distanza non superiore a \(c\epsilon_k\), con \(c\) costante indipendente da \(k\) (dovrebbe essere \(c = \sqrt{\sum_i (1+a_i^2)}\)). Sia ora
\[
R_k = \bigcup_{j=1}^{N_k} B(\mathbf{x}_j, c\epsilon_k).
\]
Per costruzione \(R_k\) contiene la porzione di iperpiano parametrizzata da \([-k,k]^{n-1}\); in particolare \(H\subset \bigcup_k R_k\). Poiché
\[
|R_k| \leq N_k |B_1| c^n \epsilon_k^n \simeq \left(\frac{2k}{\epsilon_k}\right)^{n-1} |B_1| c^n \epsilon_k^n
= C k^{n-1} \epsilon_k = \frac{C \epsilon}{k^2}
\]
avremo che
\[
|H| \leq C\epsilon \sum_k \frac{1}{k^{2k}} = C' \epsilon\,.
\]

[Plepp]

Buonasera Rigel! Grazie davvero per esserti interessato

Credo di aver intuito l'idea della dimostrazione, ma non mi sono chiari un paio di passaggi:

[...]
due punti \( \mathbf{x}_j, \mathbf{x}_k \) adiacenti sull'iperpiano avranno distanza non superiore a \( c\epsilon_k \), con \( c \) costante indipendente da \( k \)
[...]
Poiché
\[ |R_k| \leq N_k |B_1| c^n \epsilon_k^n \]
[...]

[Rigel]

1) Pensa al caso di una retta nel piano. Se la retta ha equazione \(y = a x\), allora i punti sulla retta di ascissa \(x_1\) e \(x_2\) hanno distanza in \(\mathbb{R}^2\) pari a
\[
\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (a x_1 - a x_2)^2} = |x_1 - x_2|\, \sqrt{1+a^2}\,.
\]

2) \(R_k\) è ricoperto da \(N_k\) palle in \(\mathbb{R}^n\), tutte aventi lo stesso raggio \(c \epsilon_k\); il volume di ciascuna di queste palle è dato da
\[ |B_1| c^n \epsilon_k^n. \]
(In generale, il volume di una palla di raggio \(r\) è dato da \(|B_1| r^n\), dove \(|B_1|\) è il volume della palla unitaria di \(\mathbb{R}^n\).)

[Plepp]

1) Il fatto è: se due punti della griglia distano almeno $\epsilon_k$ l'uno dall'altro, la distanza tra due punti dell'iperpiano dovrebbe essere almeno $c\epsilon_k$, mentre tu scrivi

Inoltre, due punti \( \mathbf{x}_j, \mathbf{x}_k \) adiacenti sull'iperpiano avranno distanza non superiore a \( c\epsilon_k \)

Sono io che non ho capito un tubo o si tratta di un errore di battitura?

2) Perfetto, ci sono!

(In generale, il volume di una palla di raggio \( r \) è dato da \( |B_1| r^n \), dove \( |B_1| \) è il volume della palla unitaria di \( \mathbb{R}^n \).)

(Curiosità: questa conclusione la posso trarre anche senza conoscere l'espressione di $|B_r|$ in funzione di $n$? Con $B_r$ indico la palla di raggio $r$ di $RR^n$.)

EDIT. Mi rispondo da solo: sì, dato che $B_r=r\cdot B_1$

[DajeForte]

Te lo faccio in R^2 poi te aggiusti.

Prendi u a retta (r). Questa è il limite di segmenti crescenti $r_n$. (Ad esempio se prendi la retta y=x puoi considerare i segmenti che uniscono (-1,-1) e (1,1); (-2,-2) (2,2)).

La misura è continua per oer successioni crescenti, quindi $l(r)= lim l(r_n)$.

Il claim è che $l(r_n)$ sia uguale a 0 per ogni n.
Chiamo $r_n=r$ per semplicità.

Segui un procedimento inverso a prima. Inciciotticci la retta considerando rettangoli aventi per base di lunghezza r ed altezza $2/n$. Ad esempio se prendi la retta che cngiunge (-1,-1) a (1,1) considera il rettangolo che unisce (-1-1/n, -1+1/n), (-1+1/n,-1-1/n), e gli altri due. Spero tu abbia capito. Fatti un disegno. Chiama questi rettangoli $r_n$.

La retta è il loro limite (in questo caso decrescenti). Si ha dunque che $l(r)= lim_n 2/n *"base"=0$.

Penso sia abbastanza facile estendere ad R^n.

Mi è venuta anche una dimostrazione per assurdo. Domani te la posto.