Due limiti che non so risolvere (SENZA De L'Hopital)

[marione111]

Riuscirò a prendere l'esame di analisi? Mi incarto sempre con l'uso dei limiti notevoli. Eccone due da risolvere senza De L'Hopital:

1) $lim_(x->0) [sin^2 x-2cosx+2cos^2 x]/(log_(e^3)^2 (1+sinx^2))$

2) $lim_(x->0) [ root(4) (arcsin(1/(cos^2 x))) -1 ]/ (1-2e^x + e^2x)$

So che si chiede di proporre una risoluzione da chi scrive il messaggio, ma per favore, ho tentato di risolverli decine di volte cercando di cambiare approccio, non fatemi riscrivere di nuovo uno di quei tentativi che mi viene la nausea. Tanto lo scopo sarebbe di rendere "attivo" chi chiede aiuto, senza sfruttare il forum come se fosse un risolutore di compiti per casa... ma penso sia chiaro (nonostante ho pochi messaggi sul forum) che non è il mio caso.

[Rigel]

Un aiuto per il primo:
a numeratore scrivi \(\sin^2 x = 1-\cos^2 x\); a denominatore tieni conto che il logaritmo di \(1\), in qualsiasi base, vale \(0\).

[marione111]

E' una cosa che ho già fatto, però dopo mi incarto. Ora ci riprovo e vedo se mi viene qualcosa in mente. Comunque al denominatore ho mancato le parentesi, l'argomento non è solo $1$ ma tutto. ora edito

[marione111]

Come volevasi dimostrare mi è uscito XD. Si vede che l'aria del forum mi fa "cacciare la scienza" .

Prima mi incartavo perché dopo aver trasformato $sin^2 x$ in $1-cos^2 x$ sommavo algebricamente. Invece dovevo scomporre usando "somma per la differenza" e poi raccogliere $1-cos^2 x$. Certo che se all'esame devo usare sti trucchetti è sicuro che non lo passo .

Ecco lo svolgimento:

$= lim_(x->0) (sin^2 x-2cosx+2cos^2 x) * 1/(log_(e^3)^2 (1+sinx^2))$

$= lim_(x->0) (1-cos^2 x - 2cosx + 2cos^2 x) * 1/(log_(e^3)^2 (1+sinx^2))$

$= lim_(x->0) ((1-cosx)(1+cosx) - 2cosx(1-cosx)) * 1/(log_(e^3)^2 (1+sinx^2))$

$= lim_(x->0) (1-cosx)(1+cosx - 2cosx) * 1/(log_(e^3)^2 (1+sinx^2))$

$= lim_(x->0) (1-cosx)(1-cosx) * 1/(log_(e^3)^2 (1+sinx^2))$

$= lim_(x->0) (1-cosx)/x^2 (1-cosx)/x^2 * (x^4)/(sin^2 x^2) * (sin^2 x^2)/(log_(e^3)^2 (1+sinx^2))$

$= 1/2 * 1/2 * 1 * 1/(log_(e^3)^2 (e)) = 1/4 * log^2 e^3 = 9/4$

Urrà...

Per il secondo ci provo appena torno a casa. In effetti il secondo l'ho provato a fare solo una volta, ma ero scoraggiato dagli insuccessi del primo.

Think Math!

[marione111]

e grazie

[dott.ing]

Il secondo è scritto correttamente? Non mi torna alcuna indecisione...

[Palliit]

Sembra anche a me che nel secondo ci sia un errore (o un trabocchetto...)

[Rigel]

Ho il sospetto che l'\(e^2 x\) che compare a denominatore sia un \(e^{2x}\).

[Palliit]

@Rigel: l'ho interpretato anch'io così, il mio dubbio è legato però a quell' $arcsin(1/(cos^2x))$ : esiste soltanto quando $cos^2 x=1$ (viceversa infatti l'argomento dell'$arcsin$ risulterebbe maggiore di $1$), dunque la funzione ha dominio ${k pi}$ con $k!=0$ . Pertanto ne' zero ne' alcun altro numero è punto di accumulazione. Di conseguenza il limite per $x to 0$ non esiste.

[Rigel]

@Rigel: l'ho interpretato anch'io così, il mio dubbio è legato però a quell' $arcsin(1/(cos^2x))$ : esiste soltanto quando $cos^2 x=1$ (viceversa infatti l'argomento dell'$arcsin$ risulterebbe maggiore di $1$), dunque la funzione ha dominio ${k pi}$ con $k!=0$ . Pertanto ne' zero ne' alcun altro numero è punto di accumulazione. Di conseguenza il limite per $x to 0$ non esiste.

Hai perfettamente ragione.
Più che non esistere, direi che nemmeno si può parlare di limite, visto che, come hai osservato, \(0\) non è un punto di accumulazione per il dominio della funzione.