Funzione definita tramite integrale

[pollon87]

Sto cercando di generalizzare al caso n-dimensionale un teorema studiato per n=2 e cioè

Se \(\displaystyle f(x) \) è una funzione continua su \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) allora la funzione \(\displaystyle F(x) \) definita come \(\displaystyle F(x)=\int_{\mathbb{R}}^n f(x) dx \) è continua.

E' okay?

[pollon87]

Ovviamente è un integrale su R^n

[Gi8]

La scrittura \(\displaystyle F(x)=\int_{\mathbb{R}^n} f(x) dx \) non ha senso.
Infatti posiamo scrivere $F(x)= int_{RR^n} f(y)dy$, dato che la variabile di integrazione è "muta", cioè possiamo metterci la lettera che vogliamo.

Riflettiamo: quando vale $F(1)$? Vale $int_{RR^n}f(y) dy$.
E quanto vale $F(2)$? Vale sempre $int_{RR^n}f(y) dy$

Dunque $F$ è una funzione costante (sempre che il valore $int_{RR^n}f(y) dy$ sia un numero)

[pollon87]

Ovviamente non sto supponendo che quell'integrale sia un numero.

[Gi8]

se non è un numero, allora $F(x)$ non è nemmeno definita.

Mi spiego meglio: se $int_{RR^n} f(x) dx$ può convergere ad un numero reale $l$ oppure non convergere.
Nel primo caso $F(x)=l$ (funzione costante), nel secondo caso $F(x)$ non è definita

[Gi8]

Ma quale sarebbe questo famoso teorema in dimensione 2?

[pollon87]

In pratica vorrei sapere l'esatto enunciato del teorema che mi dice
"Una funzione definita tramite integrale, e tale che la funzione integranda sia continua, è continua"
Non so, la mia prof mi ha detto che esiste un tale teorema!!!