Funzioni di Hermite e autovettori operatore trasformata di Fourier

[DavideGenova]

Ciao, amici! Per trovare per lo spazio euclideo separabile \(L_2(\mathbb{R})\) una base ortogonale costituita da autovettori dell'operatore trasformata di Fourier \(F:L_2(\mathbb{R})\to L_2(\mathbb{R})\), \(f\mapsto\lim_{N\to\infty}\int_{[-N,N]}f(x)e^{-i\lambda x}d\mu_x\) (cfr. teorema di Plancherel qua a p. 433 -c'è un errorino di stampa nel segno di $i$ nell'espressione di \(g_N(\lambda)\)-) in modo che \(F\) sia rappresentato da una matrice diagonale infinita, il Kolmogorov-Fomin (pp. 436-438 qui) usa funzioni che sono, a meno di un fattore costante, le funzioni di Hermite, che so costituire una base ortogonale di \(L_2(\mathbb{R})\)., trovandole nel seguente modo.

Per trovare una tale base di autovettori, il celebre testo li cerca nel sottoinsieme denso ovunque \(S_\infty\subset L_2(\mathbb{R})\) nella forma \(w(x)e^{-x^2/2}\), dove \(w\) è un polinomio, e che soddisfino all'equazione \[\frac{d^2f}{dx^2}-x^2f=\mu g\quad\text{equazione }(3)\] dove \(\mu\) è una costante, non necessariamente la stessa per tutte le soluzioni. Tale equazione (3) è trasformata in \(\frac{d^2g}{d\lambda^2}-\lambda^2g=\mu f\) dall'operatore trasformata di Fourier \(F\) (ho scritto \(g:= F (f)\)). Il Kolmgorov-Fomin dimostra che i polinomi \(w\), fattori delle funzioni \(w(x)e^{-x^2/2}\) che soddisfano all'equazione (3), (che sono polinomi di Hermite a meno di un fattore costante) soddisfano appunto a tale equazione per \(\mu=-(2n+1)\) quando $w$ ha grado $n$. Chiamiamo tali polinomi $P_n$.
Il testo dimostra che le funzioni \(P_n(x)e^{-x^2/2}\) sono ortogonali e dice che si deduce che sono autovettori di $F$ con autovalori \(\pm\sqrt{2\pi}\) e \(\pm i\sqrt{2\pi}\) da questi fatti:

- L'equazione (3) è invariante rispetto alla trasformazione $F$.
- L'equazione (3) ha, a meno di un fattore costante, una sola soluzione nella forma \(P_ne^{-x^2/2}\).
- L'operatore $F$ trasforma \(x^ne^{-x^2/2}\) in \(i^n\sqrt{2\pi}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2}\).
Questa ultima affermazione discende dal fatto che \(\forall f\in S_\infty\), \(k\in\mathbb{N}\quad\) \(\frac{d^k}{d\lambda^k}F[f](\lambda)=(-i)^kF[x^k f](\lambda)\) (pp. 423-424). So anche che \(F[f^{(k)}](\lambda)=(i\lambda)^kF[f](\lambda)\). Non so se serva a dimostrare quanto voluto, ma il testo fa notare come in \(P_n(x)\) i coefficienti \(a_k\) della variabile \(x^k\) sono non-nulli solo per i $k$ della stessa parità di $n$. Caso mai servisse, so (p. 395) che \(P_n\) è, a meno di una costante, \((-1)^ne^{x^2}\frac{d^n e^{-x^2}}{dx^n}\).

La dimostrazione fornita dal libro contiene solo il fatto che \(F^4(P_n e^{-x^2/2})=4\pi^2 P_n e^{-x^2/2}\), cosa che credo di essere riuscito a dimostrare che valga, insieme a \(F^2(f)(\lambda)=2\pi f(-\lambda)\), per ogni \(f\in L_2(\mathbb{R})\) (grazie al fatto che vale per $f\in S_{\infty}$ -p. 426 usando \(f^\ast\)- e alla densità di $S_{\infty}$). Credo che la chiave possa risiedere nell'invarianza dell'equazione (3), ma non riesco proprio a vedere come le \(P_ne^{-x^2/2}\) siano autovettori con autovalori \(\pm\sqrt{2\pi}\) e \(\pm i\sqrt{2\pi}\).
Qualcuno ci capisce qualcosa?
$\infty$ grazie a tutti!!!

[dissonance]

Non si capisce quale sia la domanda, Davide. Non riscrivere ogni volta mezzo capitolo, vai al sodo.

[DavideGenova]

Volevo chiedere come si dimostra che le funzioni di Hermite sono autovettori dell'operatore trasformata di Fourier. Credo di essere riuscito a capire almeno un po' di questa risposta. Grazie dell'intervento!!!

[dissonance]

Volevo chiedere come si dimostra che le funzioni di Hermite sono autovettori dell'operatore trasformata di Fourier. Credo di essere riuscito a capire almeno un po' di questa risposta. Grazie dell'intervento!!!

OK, sono contento che ti abbiano risposto così bene. Quanto al mio commento precedente, questo thread ne parla.

[DavideGenova]

Grazie di tutto!!! (Anche per le Lectures di Feynman).