calcolo ordine di infinito di $f(x) = \frac{e^(\sinx)-1-\sinx}{\tan^2(x(\sinhx-x))}$

Messaggioda lucabro » 27/11/2014, 12:30

Come da soggetto questa è la funzione:

$f(x) = \frac{e^(\sinx)-1-\sinx}{\tan^2(x(\sinhx-x))}$

L'esercizio richiede di calcolare l'ordine di infinito di una serie di 4 funzioni e oridinarle secondo lo stesso in modo crescente, sono arrivato a capo in un modo o nell'altro delle altre, questa mi crea problemi. Ecco il mio tentativo di svolgimento:

- Vedo che $/lim_{x\to0} \frac{sinx}{e^(\sinx)} = 0$ quindi possiamo dire che $sinx = o(e^(sinx))$

- Quindi il numeratore diventerebbe:
$-1+e^(\sinx)-o(e^(\sinx)) = -(1-e^(\sinx)+o(e^(\sinx)))$
che a sua volta mi sembra lo sviluppo asintotico di $-e^(-\sinx)$

- Prendo ora in esame il denominatore:
$\tan^2(x(\sinhx-x)) = \tan^2(x(\frac{e^x-e^(-x)}{2}-x)) = \tan^2(x(\frac{1+x+o(x)-(1-x+o(x))}{2}-x)) = \tan^2(x(\frac{o(x)}{2}))$

ora però non so più andare avanti, ne riesco a determinare se quanto ho dedotto sia sensato.

Ogni suggerimento è ben accetto
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Re: calcolo ordine di infinito di $f(x) = \frac{e^(\sinx)-1-\sinx}{\tan^2(x(\sinhx-x))}$

Messaggioda giggiotb » 27/11/2014, 13:12

La funzione $e^{\sinx}$ tende a 1 per $x \rightarrow 0$, quindi non ha senso il fatto che $\sinx = o(e^{\sinx})$ . Ciò che dovresti cercare di studiare è che ordine di infinitesimo ha $e^{\sinx} - 1$ e vedere, sottraendo $\sinx$, cosa ottieni.
Per quanto riguarda il denominatore, ciò che hai scritto non è sbagliato, ma non è sufficiente per determinarne l'ordine di infinitesimo, perché tronchi troppo presto lo sviluppo dei termini e quindi ti esce un $o(x)$ che non sai a quanto corrisponde. Potrebbe corrispondere a qualsiasi potenza di $x$ con esponente maggiore di uno, ma è appunto questo che vuoi determinare, no? A quale potenza "assomiglia" quell'argomento della tangente. In definitiva, le equivalenze che vengono fuori dai limiti notevoli non sono sufficienti a determinare questi ordini di infinitesimo; per cui, qual è lo strumento che ti permette di esaminare più a fondo, in modo più preciso, il comportamento polinomiale di una funzione? Ovviamente gli sviluppi di Taylor con resto di Peano! Quindi dovresti applicare quelli, e non fermarti al primo ordine, ma a quello necessario a fare sì che, sottraendo l'uno dall'altro, resti una potenza precisa di $x$, e non soltanto un $o$ di qualcosa che non ti dà abbastanza informazioni. :) Spero di essere stato chiaro. :)
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Re: calcolo ordine di infinito di $f(x) = \frac{e^(\sinx)-1-\sinx}{\tan^2(x(\sinhx-x))}$

Messaggioda lucabro » 27/11/2014, 14:28

giggiotb ha scritto:La funzione $e^{\sinx}$ tende a 1 per $x \rightarrow 0$, quindi non ha senso il fatto che $\sinx = o(e^{\sinx})$ . Ciò che dovresti cercare di studiare è che ordine di infinitesimo ha $e^{\sinx} - 1$ e vedere, sottraendo $\sinx$, cosa ottieni.
Per quanto riguarda il denominatore, ciò che hai scritto non è sbagliato, ma non è sufficiente per determinarne l'ordine di infinitesimo, perché tronchi troppo presto lo sviluppo dei termini e quindi ti esce un $o(x)$ che non sai a quanto corrisponde. Potrebbe corrispondere a qualsiasi potenza di $x$ con esponente maggiore di uno, ma è appunto questo che vuoi determinare, no? A quale potenza "assomiglia" quell'argomento della tangente. In definitiva, le equivalenze che vengono fuori dai limiti notevoli non sono sufficienti a determinare questi ordini di infinitesimo; per cui, qual è lo strumento che ti permette di esaminare più a fondo, in modo più preciso, il comportamento polinomiale di una funzione? Ovviamente gli sviluppi di Taylor con resto di Peano! Quindi dovresti applicare quelli, e non fermarti al primo ordine, ma a quello necessario a fare sì che, sottraendo l'uno dall'altro, resti una potenza precisa di $x$, e non soltanto un $o$ di qualcosa che non ti dà abbastanza informazioni. :) Spero di essere stato chiaro. :)


Ciao!
Grazie per la risposta, riusciresti ad argomentare meglio

"La funzione $e^{\sinx}$ tende a 1 per $x \rightarrow 0$, quindi non ha senso il fatto che $\sinx = o(e^{\sinx})$ . Ciò che dovresti cercare di studiare è che ordine di infinitesimo ha $e^{\sinx} - 1$ e vedere, sottraendo $\sinx$, cosa ottieni."

Non mi è molto chiaro cosa significhi.
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Re: calcolo ordine di infinito di $f(x) = \frac{e^(\sinx)-1-\sinx}{\tan^2(x(\sinhx-x))}$

Messaggioda giggiotb » 27/11/2014, 14:43

Intendevo che, osservare che $\frac{\sinx}{e^{\sinx}} \rightarrow 0$ non ti aiuta a risolvere il problema, nel senso che non riesci, così facendo, a scrivere il numeratore come somma di potenze di $x$ e $o$. Studia $e^{\sinx}$ (che, per inciso, è uguale a $1 + \sinx + \frac{sin^2x}{2} + o(\sin^2x)$ , sviluppando con Taylor) e poi credo che non avrai problemi. Ricordati ovviamente che alla fine devi portare tutti i $\sinx$ sotto forma di potenze di $x$ e relativi $o$. :)
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Re: calcolo ordine di infinito di $f(x) = \frac{e^(\sinx)-1-\sinx}{\tan^2(x(\sinhx-x))}$

Messaggioda lucabro » 27/11/2014, 14:51

Ah ok ora è più chiaro grazie :)
Ma fuori da quel contesto, in senso più generale quindi, dire che $\sin x = o(e^(\sin x))$ per il motivo che dicevo prima è errato?

Grazie di nuovo :D
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Re: calcolo ordine di infinito di $f(x) = \frac{e^(\sinx)-1-\sinx}{\tan^2(x(\sinhx-x))}$

Messaggioda giggiotb » 27/11/2014, 15:40

Non saprei dirti. Il fatto è che il simbolo $o$ si usa per indicare che una funzione tende a zero "più velocemente" di un'altra. Più precisamente, io ho studiato che: date due funzioni $f$ e $g$ entrambe infinitesime per $x rightarrow x_o$, cioè tali che il loro limite per $x rightarrow x_o$ sia uguale a $0$, si dice che $f = o(g)$ per $x rightarrow x_o$ se $\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$ .
Ora, si potrebbe estendere la definizione ponendo che, se $\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = 0$ e $\lim_{x\rightarrow x_0} g(x) \ne 0$ , dato che di sicuro $\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$ , allora $f = o(g)$ per $x \rightarrow x_0$ , ma cosa diremmo di nuovo? Non avrebbe senso dire che una funzione tende a zero più velocemente dell'altra, quando questa a zero non ci va proprio. Sarebbe ovvio che il limite del rapporto fa zero. E poi ovviamente questa cosa non si può estendere al caso in cui né $f$ né $g$ è infinitesima... In tal caso il limite del rapporto può anche non fare zero!
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Re: calcolo ordine di infinito di $f(x) = \frac{e^(\sinx)-1-\sinx}{\tan^2(x(\sinhx-x))}$

Messaggioda lucabro » 27/11/2014, 22:37

Ok ti ringrazio!
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