Integrale doppio con retta che interseca una circonferenza

Messaggioda Sta_bile » 27/11/2014, 16:28

Salve forum :)

Sono alle prese con un integrale doppio che mi sta creando qualche grattacapo...
$ intint(dxdy)/(x^2+y^2) $

Dove il dominio, datomi graficamente dalla traccia, è la regione di piano compresa tra la parte interna dela circonferenza di raggio 1 e centro (0,1) e la retta di equazione y>2-x

Vi dico come ho proceduto io:

Inizialmente ho ignorato il passaggio alle coordinate polari, operando considerando il dominio normale rispetto a x. Gli estremi di integrazione delle ascisse li ho ricavati mettendo a sistema l'equazione della circonferenza e della retta:

$ x^2+y^2-2y<0 $
$ y>2-x $

Mi sono trovato le soluzioni del sistema per soluzione, sostituendo il valore della y nella prima equazione, e trovando che i punti che intersecano sono (0,2) e (1,0)...di conseguenza, x varia da 0 a 1...Non so se fin qui sia giusto il procedimento xD

Le ordinate invece variano da $ 2-x $ a $ 1+sqrt{1-x^2} $ ...quest'ultima condizione ottenuta ricavandola dall'equazione della circonferenza..

$ x^2+(y-1)^2<1 $

Non sono però riuscito a trovare gli estremi di integrazione passando alle coordinate polari, nella speranza di facilitare il calcolo dell'integrale..

Passando al sistema di coordinate:
x=rcos(t)
y=1+rsin(t)

Dall'equazione della retta, ottengo

$ r(sin(t)+cos(t))+1>2, r>1/(cos(t)+sin(t)) $

Dall'equazione della circonferenza, ottengo invece..

$ r^2cos^2(t)+r^2sin^2(t)+1+2rsin(t)-2rsin(t)=0, r<-1 $ Ma non è possibile questa cosa...e qui mi sono imballato...anche nel trovare gli estremi in cui varia t...
Ci saranno sicuramente una miriade di errori..mi affido a voi per scovarli e illuminare la mia mente annebbiata :(
Sta_bile
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Re: Integrale doppio con retta che interseca una circonferenza

Messaggioda dott.ing » 28/11/2014, 08:22

Non trovo una soluzione analitica al tuo integrale... È scritto correttamente? C'è per caso una $x$ o una $y$ a numeratore?
In ogni caso, vediamo di chiarire qualche dubbio...

Sta_bile ha scritto:e la retta di equazione y>2-x

Non è chiaramente una retta (non hai l'uguaglianza), ma un semipiano.

Sta_bile ha scritto:Mi sono trovato le soluzioni del sistema per soluzione, sostituendo il valore della y nella prima equazione, e trovando che i punti che intersecano sono (0,2) e (1,0)

Forse qui hai sbagliato a digitare, il secondo punto è $(1,1)$.
Per il resto la parte in coordinate cartesiane va bene.

Per quanto riguarda le coordinate polari, invece, se decidi di centrarle in $(0,1)$ (potrebbe non essere una buona idea) la parametrizzazione risulta:

    retta: $rho=1/(\cos\theta+\sin\theta)$
    circonferenza: banalmente $rho=1$. Sei nel centro della circonferenza, i suoi punti sono a distanza costante.
Da un disegno dovresti osservare facilmente che $theta\in[0,pi/2]$.

Se centri in $(0,0)$:

    retta: $rho=2/(\cos\theta+\sin\theta)$
    circonferenza: $rho=2\sin\theta$
Con $theta\in[pi/4,pi/2]$.
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Re: Integrale doppio con retta che interseca una circonferenza

Messaggioda Sta_bile » 28/11/2014, 09:35

Grazie per la risposta :) Ma volevo chiederti come fa l'angolo theta a variare da 0 a pigreco mezzi? Questa parte non l'ho capita :( Comunque hai ragione. Per la fretta ho scritto male la traccia... Il denominatore è tutto sotto radice
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Re: Integrale doppio con retta che interseca una circonferenza

Messaggioda dott.ing » 28/11/2014, 10:09

Se sei centrato in $(0,1)$ vedi il punto $(1,1)$ sotto un angolo nullo (stessa ordinata) e il punto $(0,2)$ sotto un angolo retto (stessa ascissa).
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Re: Integrale doppio con retta che interseca una circonferenza

Messaggioda Sta_bile » 28/11/2014, 12:51

Ma come faccio a traslare la circonferenza dal centro (0,1) a (0,0) ? :(
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Re: Integrale doppio con retta che interseca una circonferenza

Messaggioda dott.ing » 28/11/2014, 20:50

Stai traslando di una unità in direzione $-y$.
Pertanto la circonferenza diviene $x^2+(y+1)^2-2(y+1)=0$ che ovviamente è $x^2+y^2=1$, ossia la circonferenza unitaria centrata nell'origine.

Ma questo non ti aiuta a svolgere l'integrale, anzi, ti complica il calcolo.
Lascia invariato il dominio e centra le coordinate polari nell'origine.
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Re: Integrale doppio con retta che interseca una circonferenza

Messaggioda Sta_bile » 29/11/2014, 19:45

Scusa se continuo a farti domande, ma quindi gli estremi di integrazione in coordinate polari che sceglieresti tu sono:
$ 1/(costheta+sintheta)<rho<1 $

e

$ 0<theta<pi/2 $

? :)
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Re: Integrale doppio con retta che interseca una circonferenza

Messaggioda dott.ing » 29/11/2014, 20:12

Fai bene a far domande, risolvi tutti i dubbi che hai.

Gli estremi che hai indicato vanno bene se centri in $(0,1)$, ma così non vengono conti agevoli. Perciò userei queste:
dott.ing ha scritto:Se centri in $ (0,0) $:

    retta: $ rho=2/(\cos\theta+\sin\theta) $
    circonferenza: $ rho=2\sin\theta $
Con $ theta\in[pi/4,pi/2] $.


(Ti sono chiare?)
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Re: Integrale doppio con retta che interseca una circonferenza

Messaggioda Sta_bile » 29/11/2014, 20:48

Chiarissimo, grazie per la pazienza ^^
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