Salve forum
Sono alle prese con un integrale doppio che mi sta creando qualche grattacapo...
$ intint(dxdy)/(x^2+y^2) $
Dove il dominio, datomi graficamente dalla traccia, è la regione di piano compresa tra la parte interna dela circonferenza di raggio 1 e centro (0,1) e la retta di equazione y>2-x
Vi dico come ho proceduto io:
Inizialmente ho ignorato il passaggio alle coordinate polari, operando considerando il dominio normale rispetto a x. Gli estremi di integrazione delle ascisse li ho ricavati mettendo a sistema l'equazione della circonferenza e della retta:
$ x^2+y^2-2y<0 $
$ y>2-x $
Mi sono trovato le soluzioni del sistema per soluzione, sostituendo il valore della y nella prima equazione, e trovando che i punti che intersecano sono (0,2) e (1,0)...di conseguenza, x varia da 0 a 1...Non so se fin qui sia giusto il procedimento xD
Le ordinate invece variano da $ 2-x $ a $ 1+sqrt{1-x^2} $ ...quest'ultima condizione ottenuta ricavandola dall'equazione della circonferenza..
$ x^2+(y-1)^2<1 $
Non sono però riuscito a trovare gli estremi di integrazione passando alle coordinate polari, nella speranza di facilitare il calcolo dell'integrale..
Passando al sistema di coordinate:
x=rcos(t)
y=1+rsin(t)
Dall'equazione della retta, ottengo
$ r(sin(t)+cos(t))+1>2, r>1/(cos(t)+sin(t)) $
Dall'equazione della circonferenza, ottengo invece..
$ r^2cos^2(t)+r^2sin^2(t)+1+2rsin(t)-2rsin(t)=0, r<-1 $ Ma non è possibile questa cosa...e qui mi sono imballato...anche nel trovare gli estremi in cui varia t...
Ci saranno sicuramente una miriade di errori..mi affido a voi per scovarli e illuminare la mia mente annebbiata