Sia data la seguente serie di funzioni:
$ \sum_{n=0}^(infty) n^2/2^n (x/(x^2 +1) -1)^n $
Tramite il criterio della radice, si osserva che l'intervallo di convergenza assoluta e puntuale è tutto l'asse reale $\mathbb{R}$ .
Devo stabilire se in $\mathbb{R}$ vi è anche convergenza Uniforme (La risposta è SÌ).
Considero il Criterio di Weierstrass, ovvero devo trovare una successione numerica tale che: $|f_n(x)| \leq M_n $.
Per avere convergenza uniforme, la serie numerica $ \sum_{n=n_0}^(infty) M_n $ deve convergere.
Ho dei problemi nel definire il maggiorante $M_n$, vi mostro quello che ho fatto:
$|f_n(x)| = | n^2/2^n (x/(x^2 +1) -1)^n| = n^2/2^n | (-x^2 +x -1)/(x^2 +1)|^n \leq n^2/2^n |-x^2 +x-1|^n$
Qualcuno potrebbe suggerirmi come portare avanti il procedimento per determinare $M_n$ ?
Vi ringrazio per la disponibilità,
Marco