Sviluppo asintotico di $tan^2(x(senhx-x))$

[lucabro]

Questa è una domanda derivata da un altro esercizio per cui ho aperto un post oggi pomeriggio, ma dato che sono stato aiutato a risolverlo ed avendo maturato un altro dubbio, ho pensato di aprire un altro thread. Se non va bene dite pure che aggiorno l'altro.

Dato $tan^2(x(senhx-x))$

si ha che $\senh x = x + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$

quindi $\senh x - x = \frac{x^3}{6} + o(x^3)$

moltiplicando per x $x(\senh x - x) = \frac{x^4}{6} + o(x^4)$

per la tangente si ha che $\tan t = t + \frac{t^3}{3} + o(t^3)$

ora però sul mio esercizio risolto si arriva a scrivere

$\tan(x(\senh x - x)) = \frac{x^4}{6} + o(x^4)$

e nel passaggio successivo

$\tan^2(x(\senh x - x)) = \frac{x^8}{36} + o(x^8)$

ma non riesco a capire come ci si è arrivati, ogni suggerimento è ben accetto

[dott.ing]

Sta approssimando la tangente con un errore maggiore: $\tant=t+o(t)$ anziché $\tant=t+\frac{t^3}{3}+o(t^3)$.
Pertanto sta semplicemente elevando al quadrato l'approssimazione dell'argomento: $(\frac{x^4}{6} + o(x^4))^2=\frac{x^8}{36} + o(x^8)$.

C'è una ragione importante per cui lo sviluppo viene troncato in quel modo. Il fatto è che gli sviluppi di funzioni composte possono diventare molto impegnativi da calcolare, e il tuo quesito ne fornisce un buon esempio.
Trovi qui un mio intervento sull'argomento, vedi se può esserti utile...

[lucabro]

Ti ringrazio, sia per la spiegazione che per il link all'intervento, davvero interessante

[dissonance]

Pertanto sta semplicemente elevando al quadrato l'approssimazione dell'argomento: $(\frac{x^4}{6} + o(x^4))^2=\frac{x^8}{36} + o(x^8)$..

Eh però attenzione che questo calcolo va fatto con cura. Il risultato che scrivi è giusto, e sicuramente tu lo sai fare bene, ma come hai scritto lasci l'impressione che valga questa formula:
\[
(x^p+o(x^q))^2=x^{2p}+o(x^{2q})
\]
e questo è falso, a meno che $q=p$, come in questo thread.

[dott.ing]

Certamente dissonance, quel conto va fatto con tutti i crismi del caso...
L'ho dato per scontato ed in effetti quella scrittura potrebbe ingenerare confusione, hai fatto bene a precisare.