Tre teoremi su $f$ misurabili: anche per dominio di misura infinita?

[DavideGenova]

Ciao, amici! Il Kolmogorov-Fomin dimostra i due seguenti teoremi dicendo che valgono per domini di misura fissa definita su una $\sigma$-algebra:

Una funzione $f(x)$ definita su un insieme misurabile $E$, ed equivalente su questo a una funzione misurabile $g(x)$, è anch'essa misurabile.

Se la successione $f_(x)$ di funzioni misurabili è convergente alla funzione $f(x)$ quasi ovunque in $X$, allora $f(x)$ è anch'essa misurabile.

e propone come esercizio il seguente

La successione $f_n(x)$ di funzioni misurabili converga quasi dappertutto a una funzione limite $f(x)$. [...] la successione $f_n(x)$ è convergente quasi ovunque a $g(x)$ se e soltanto se $g(x)$ è equivalente a $f(x)$.

Direi che valgono sia se il dominio ha misura finita sia infinita, giusto? Lo chiedo perché non vorrei che fissa significasse finita, dato che moltissime altre cose sono purtroppo dimostrate per il solo caso di misura finita.
Grazie di misura infinita a tutti!

[DavideGenova]

Sì, hai trovato proprio il passo dove leggo quell'espressione. Gli Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale si trovano anche on line qui. Direi che tali teoremi valgono indipendentemente dalla finitezza o meno della misura, no?
(Mi era sorto il dubbio perché è un po' nello stile del Kolmogorov-Fomin adottare un linguaggio ambiguo e dimostrare teoremi che valgono solo sotto ipotesi restrittive non esplicitate.)

[gugo82]

Quei teoremi sono validi in qualsiasi spazio di misura, a prescindere dal tipo di misura che ci si voglia mettere sopra (limitata, sigma-finita, etc...).
D'altra parte, ciò si dovrebbe capire da com'è strutturata la dimostrazione degli asserti.

[DavideGenova]

Quei teoremi sono validi in qualsiasi spazio di misura, a prescindere dal tipo di misura che ci si voglia mettere sopra (limitata, sigma-finita, etc...). D'altra parte, ciò si dovrebbe capire da com'è strutturata la dimostrazione degli asserti.

Grazie di cuore a tutti e due! Avevo l'impressione che si intendesse che $\mu(X)\le\infty$, ma non ci avrei giurato perché il Kolmogorov-Fomin dimostra i risultati relativi alla teoria della misura e all'integrazione di Lebesgue, quando li dimostra, quasi sempre solo per misure finite, o addirittura sottintendendo condizioni restrittive, o anche tali che non si perde di generalità, ma non dichiarate, quindi cerco sempre di stare all'erta che non si faccia qualche ipotesi non esplicitata.