formula di taylor

[xshadow]

ok,buona parte delle cose le condivido in effetti...l'unica cosa che ancora mi turba è il senso del calcolo del polinomio di taylor(facciamo mc laurin per comodità) di un ordine maggiore di 1, per tutte quelle funzioni in cui si verifica che all'aumentare del grado del polinomio approsimant si ha un peggioramento dell'approssimazione stesse nell'intorno del punto..

Nel caso in cui l'approssimazione peggiori all'aumentare di "n" qual è il senso di calcolare un polinomio di ordine maggiore di 1,dato che quello di ordine 1 rappresenterebbe la migliore approssimazione di f(x) ?

inoltre questa diminuzione di approssimazione all'aumentare di "n" riguarda solo i punti molto distanti da Xo o anche quelli vicini(costituenti un intorno "infinitesimo" di Xo)? mi chiedo cio se all'aumentare di n peggiorino in termini di qualità di approssimazione oltre ai punti distanti da Xo anche quelli vicini a Xo,oppure in realtà quelli vicini,migliorano comuqnque all'aumentare di n??

grazie: )

[wrugg25]

Prima di risponderti, vorrei premettere un dettaglio fondamentale che temo ti sia sfuggito: gli sviluppi di Taylor trovano applicazione nello studio locale di una funzione, cioè nell'analisi approssimata del suo comportamento in un un certo intorno (non definito a priori) di un certo suo punto.

Ora, sulla base di questa premessa, cercherò di risponderti nel miglior modo possibile

ok,buona parte delle cose le condivido in effetti...l'unica cosa che ancora mi turba è il senso del calcolo del polinomio di taylor(facciamo mc laurin per comodità) di un ordine maggiore di 1, per tutte quelle funzioni in cui si verifica che all'aumentare del grado del polinomio approsimant si ha un peggioramento dell'approssimazione stesse nell'intorno del punto..

Nel caso in cui l'approssimazione peggiori all'aumentare di "n" qual è il senso di calcolare un polinomio di ordine maggiore di 1,dato che quello di ordine 1 rappresenterebbe la migliore approssimazione di f(x) ?

I polinomi di Taylor, visto quanto premesso sopra, sono largamente applicati nel calcolo dei limiti.
Non è raro che le funzioni da studiare contengano potenze relativamente elevate della variabile indipendente; ciò vuol dire che, per poter approssimare la funzione con i polinomi di Taylor (supponendo un approccio basato sull'individuazione, all'interno della funzione, di quelle parti associabili a funzioni elementari, e dunque sostituibili adeguatamente dagli sviluppi di queste ultime... un approccio basato sul calcolo effettivo del polinomio della funzione originale sarebbe, in molti casi, impensabile), occorre svilupparli fino a potenze superiori a quelle già contenute nella funzione (altrimenti, si corre il rischio di ottenere un'approssimazione scorretta). Dunque, in tal caso, visto che ciò che conta è il compimento dello studio locale della funzione, non importa quanto precise siano le approssimazioni ottenute con i polinomi: essi garantiscono, in ogni caso, l'esistenza di un certo intorno del punto d'interesse in cui si comporteranno in modo ragionevolmente simile alla funzione originale, e tanto basta.

inoltre questa diminuzione di approssimazione all'aumentare di "n" riguarda solo i punti molto distanti da Xo o anche quelli vicini(costituenti un intorno "infinitesimo" di Xo)? mi chiedo cio se all'aumentare di n peggiorino in termini di qualità di approssimazione oltre ai punti distanti da Xo anche quelli vicini a Xo,oppure in realtà quelli vicini,migliorano comuqnque all'aumentare di n??

Suppongo che questo dipenda dalla singola funzione che si sta studiando... ti proporrei, per trovare tu stesso una risposta a questa tua domanda, di analizzare tu stesso alcune funzioni, ed osservare così come si comportano: otterresti sicuramente una risposta più convincente delle mie supposizioni



Spero di essere stato chiaro e di non aver commesso errori: stamattina mi sono svegliato presto, e tra pochi minuti partirò per un viaggio di ben 1400km (e non so quante ore )...