Integrazione sul piano complesso

[gcm.kf]

Salve a tutti, sto preparando l'esame di metodi matematici (sono uno studente di fisica) e svoglendo questo esercizio ho trovato alcuni problemi. L'integrale che devo calcolare è:
$I=\int_{0}^{infty} sin(x)/(x(x^2+1)^2) dx$
le soluzioni che il mio prof ha postato mi torna, però io avevo iniziato a risolverlo seguendo una via diversa, e non capisco cosa ci sia di sbagliato, ma il risultato a cui giungo non è corretto :
il risultato corretto (ho controllato anche su wolfram alpha) è quello del mio prof ovvero $I=\pi/2(1-3/(2e))$. Vi illustro come avevo proceduto io:

1) Osservo che le funzione integranda è pari, quindi $I=1/2\int_{-infty}^{infty} sin(x)/(x(x^2+1)^2) dx$

2)estendo la funzione integranda al piano complesso definendo $\f(z)=sin(z)/(z(z^2+1)^2)$ con $z \in CC$

3) Noto che la $f(z)$ ha una singolarità eliminabile in $0$, e due poli del secono ordine in $+i$ e in $-i$

4)scelgo come cammino di integrazione la semicirconferenza $ \Gamma=\gamma_1+\gamma_2$ sul semipiano superiore $Im(z)>0$ definita dalle seguendi equazioni
$ \gamma_1(t)=t$ con $ t in [-R,R]$
$ \gamma_2(\theta)=Re^(i\theta)$ con $\theta in [0,\pi]$


5) Posso calcolare l'integrale su questo cammino utilizzando il metodo dei residui ottenendo:
$ \int_{\Gamma}f(z)dz=2\piiRes[f(z),z=i] $
6)D'altra parte
$ \int_{Gamma}f(z)dz= \int_{gamma_1}f(z)dz+ \int_{gamma_2}f(z)dz$
7) Faccio tendere adesso $R\rarr \infty$:
mostro che $\int_{gamma_2}f(z)dz=\int_{0}^{\pi}sin(Re^(i\theta))/(Re^(i\theta)(Re^(i2\theta)+1)^2)iRe^(i\theta)d\theta\rarr\0$
È anche evidente che $\int_{gamma_1}f(z)dz\rarr\2I$

8) Concludo allora che $\2I=\int_{Gamma}f(z)dz=2piiRes[ f(z),z=i]$ da cui calcolo $I$


il risultato di questo procedimento è $I=-pi/4(cosh(1)-2sinh(1))=pi/8(e-3/e)$ che è evidentemente sbagliato:
Quello che vi chiedo è di potermi far notare l'errore di questo procedimento, perchè io ci ho perso un bel po' di tempo, ma proprio non riesco a trovarlo, più che altro per capire se è una grave lacuna concettuale o semplicemente un errore di distrazione che non sto individuando.

Grazie a tutti per le eventuali risposte.

[Light_]

Io farei così ,

$ I=1/2\int_{-infty}^{infty} sin(x)/(x(x^2+1)^2) dx=I=1/(4i)\int_{-infty}^{infty} (e^(ix)-e^(-ix))/(x(x^2+1)^2) dx $

Qui allora spezzo l'integrale

$ I=1/(4i)[\int_{-infty}^{infty} (e^(ix))/(x(x^2+1)^2) dx -\int_{-infty}^{infty}(e^(-ix))/(x(x^2+1)^2)] = $

Considero due cammini , una semicirconferenza di raggio R, che farò tendere a infinito ,
percorsa in verso positivo nel semipiano superiore , e un'altra semicirconferenza percorsa in senso negativo
nel semipiano inferiore di raggio R che poi farò tendere ad infinito.

A questo punto

$I=I_++I_-$

$ I_+=pi/2[Res( (e^(iz))/(z(z^2+1)^2))|_(z=i) $

$ I_- =-pi/2[Res((e^(-iz))/(z(z^2+1)^2))|_(z=-i)] $

A occhio direi che sta venendo , se vuoi prova a finirlo , in serata farò i conti.

[gcm.kf]

Intanto grazie per la risposta, e scusami se ci ho messo un po' a rispondere ma oggi pomeriggio non ero in casa:
Comunque, ammesso e non concesso che io abbia capito bene, secondo quanto tu dici abbiamo:

$I=\pi/2 {Res[e^(iz)/(z*(z^2+1)^2),z=i]-Res[e^(-iz)/(z*(z^2+1)^2),z=-i]} =\pi/2(-3/(4e)-(-3/(4e))=0$

Dimmi tu se ho sbagliato qualcosa, (cosa tra l'altro molto probabile )

Inoltre, secondo me, nel procedimento che hai fatto tu c'è un errore, infatti prima di dividere la funzione seno nella somma di due esponenziali, la funzione integranda è ben definita su tutta la retta reale, ma quando dividi $\sin(z)=1/(2i)*(e^(iz)- e^(-iz))$ e calcoli i 2 integrali separatamente ovvero:
$ \int_{-infty}^{infty}e^(iz)/(z(z^2+1))$ e $\int_{-infty}^{infty}e^(-iz)/(z(z^2+1))$ ,
le due funzioni integrande hanno entrambe una divergenza in $x=0$, cosa che non ti permette di applicare il teorema dei residui come hai fatto tu! che ne pensi?

[Light_]

Bravo!

Dato che "compare" quel polo in $0$ , calcolerai il residuo anche per quello ,
lo puoi "addizzionare" sia all'integrale di sopra , che a quello di sotto , il risultato non cambia.
(qui ci sarebbe , almeno in un compito d' esame , da chiarire il procedimento usato , nel senso della deformazione che si da al cammino di integrazione e in quale semipiano si ingloba la singolarità in $0$ , ma siamo fisici )

Chiaramente poi commetti un errore di segno ,
(forse lo so qual' è , ricordati che quando chiudi il cammino nel semipiano inferiore , lo percorri in senso negativo)

guarda un po il residuo in $0$ è proprio $1$ .

Se guardi il risultato poi

$I=\pi/2(1-3/(2e))$ ti accorgi subito che il secondo termine del secondo membro è proprio

$ (-3/(4e)-3/(4e))=-3/(2e) $

e ci siamo.

[gcm.kf]

ok!! tutto chiaro, si in effetti mi ero scordato di cambiare il segno all'integrale svolto sulla circonfernza del semipiano inferiore, e non sapevo bene come deformare il cammino di integrazione, ma come dici tu è indifferente "schivare" lo zero da sopra o da sotto, quindi il problema non si pone.
Grazie mille per l'aiuto!
Dato che ci sono, ti posso anche chiedere, ammesso che tu abbia tempo e voglia di rispondere, come mai il procedimento che ho postato io nella domanda non fornisce il risultato corretto? Perchè a me proprio non riesce individuare l'errore!

[Light_]

Come mai il procedimento che ho postato io nella domanda non fornisce il risultato corretto? Perchè a me proprio non riesce individuare l'errore!

Beh il lemma di Jordan non è immediatamente applicabile nel tuo caso ,

perché la funzione integranda si comporta male quando $ (z -> oo) $

sia nel semipiano superiore che in quello inferiore (esplode esponenzialmente),

e allora la prima cosa che viene in mente è di scrivere l'integrale come somma di due integrali,

che è quello che abbiamo fatto noi appunto.

[gcm.kf]

Ok, sono un idiota! ho ripreso in mano questi esercizi da poco e sarebbe meglio non dire che stavo considerando il seno limitato tra [-1,1], scusa per il tempo che ti ho fatto perdere e grazie ancora!