Proprietà commutativa della serie

[AnthonyDiamond]

Salve a tutti, è il mio primo post ma spero che qualcuno possa essermi d'aiuto.

Durante lo studio delle Serie numeriche ho trovato sul mio libro un capitolo (1 pag. -.-) che espone la proprietà commutativa di una serie.
Data la serie $a_1+a_2+...+a_n+...$ diremo che la serie $b_1+b_2+...+b_n+...$ è ottenuta riordinando i termini della

serie $a_1+a_2+...+a_n+...$ se esiste un'applicazione invertibile $i : NN rarr NN $ tale che
$ b_n = a_i(n) $ $AA n in NN$
in tal caso si può affermare che la serie data è ottenuta riordinando i termini della serie $ b_1+b_2+....+b_n+..$
pur ricorrendo all'applicazione inversa $i^-1$


il teorema ad essa connessa dice che
se la serie $a_1+a_2+...+a_n+...$ è a termini non negativi ed è convergente allora anche la serie $b_1+b_2+...+b_n+...$ sarà convergente verso la stessa somma

ma quindi la condizione a finché tale teorema sia vero è che $b_n $ sia ottenibile mediante l'inversa di $a_n$ ?? e come si fa a dimostrare ciò?

Scusate ma ho un po di confusione

[Rigel]

Il teorema in questione dice che se $\sum_n a_n$ è una serie a termini non negativi convergente, allora qualsiasi suo riordinamento $\sum_n b_n$ converge alla stessa somma.
Un riordinamento non è altro che una serie in cui hai cambiato l'ordine degli $a_n$; pensa agli $a_n$ come infinite tesserine con scritto il relativo numeretto; le mescoli e le metti in fila con un altro ordine.
Detto in maniera precisa, hai che $b_n = a_{i(n)}$ dove, appunto, $i: \NN\to\NN$ è una biiezione (quindi $i$ è la funzione che ti dice come hai rimescolato le tesserine).
Questa proprietà estende, in questo senso, la proprietà commutativa che vale per la somma di un numero finito di addendi.

[AnthonyDiamond]

Quindi si può concludere che le serie possono usufruire della proprietà commutativa se sono regolari
Comunque ti ringrazio sei stato chiarissimo.

[gugo82]

Quindi si può concludere che le serie possono usufruire della proprietà commutativa se sono regolari

Attenzione. Solo le serie assolutamente convergenti (e quindi anche tutte quelle convergenti a termini positivi) godono della proprietà commutativa in grande.

Se una serie non è assolutamente convergente, allora vale il seguente celebre e sorprendente risultato, detto teorema di Riemann-Dini:

Sia \(\sum a_n\) una serie reale.
Se la serie \(\sum a_n\) non è assolutamente convergente allora, comunque si scelga \(S\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}\), esiste una permutazione \(i:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\) tale che:
\[
\sum_{n=1}^\infty a_{i(n)} =S\; .
\]

In altri termini, se una serie non converge assolutamente, è possibile trovarne un riordinamento che abbia per somma un qualsiasi numero reale, oppure che sia divergente.

[AnthonyDiamond]

grazie della precisazione molto gentile

[asromavale]

riporto la dimostrazione del seguente teorema con relativa dimostrazione ed elenco i miei dubbi ,fiducioso che qualcuno possa chiarirli
teorema:se la serie $a_1+a_2+..+a_n+...$ è a termini non negativi ed è convergente,allora anche la serie $b_1+b_2+..+b_n+...$ (ottenuta riordinando i termini della prima serie attraverso un applicazione $i:N\rightarrowN; b_n=a_(i(n)))$è convergente verso la stessa somma.
dimostrazione : a norma del teorema sul limite delle successioni monotone basta provare che:
(1) $ Sup_n(a_(i(1))+...+a_(i(n)))=Sup_n(a_1+...+a_n) $
ovvero per le proprieta' dell' estremo superiore, che valgono le condizioni :

(2) $a_(i(1))+...+a_(i(n)<=Sup_n(a_1+...+a_n) $

(3) $AAx<Sup_n(a_1+...+a_n) ,EEm in N:a_(i(1))+...+a_(i(m))>x$
per provare la (2) poniamo $j(n)=max{i(1),...,i(n)}$; allora si ha
(4) $ a_(i(1))+...+a_(i(n))<=(a_1+...+a_j(n))<=Sup_n(a_1+...+a_n) $
per provare (3) indichiamo con $k$ un numero naturale tale che $a_1+...+a_k>x$ e con $n_1,...n_k$ i numeri naturali tali che
(5) $i(n_1)=1,...,i(n_k)=k$
posto $m = max{n_1,...,n_k}$, si ha

(6) $a_(i(1))+...+a_(i(m)>=a_1+...+a_k$

Ora i due punti che non mi sono chiari sono:
(d1) perche ponendo $j(n)=max{i(1),...,i(n)}$ seguono queste disuguaglianze $ a_(i(1))+...+a_(i(n))<=a_1+...+a_(j(n))<=Sup_n(a_1+...+a_n) $ ?

(d2)perchè posto $m = max{n_1,...,n_k}$ si ha $a_(i(1))+...+a_(i(m)>=a_1+...+a_k$?
grazie in anticipo