[RISOLTO] Trovare parametri di funzione definita a tratti continua in R

[strongmmc]

Salve a tutti. Sono settimane che cerco di trovare informazioni utili a risolvere questa tipologia di esercizi. Sono arrivato al limite della frustrazione. Ho cercato sul forum esercizi svolti, ma ci sono solo funzioni definite a tratti con un solo punto di interesse. Tra il materiale utile (primo post in evidenza) non ho trovato ancora materiale... utile! e nemmeno i due libri che sto usando (Pensare la matematica 3, Scaglianti, e Analisi Matematica 1, Bramanti Salsa Pagani) sono di aiuto, visto che saltano completamente l'argomento, parlando dei tipi di discontinuità e passando all'integrazione.
Il mio problema non è tanto nell'esecuzione, quanto nel fatto che quando ricontrollo i risultati sono sempre sbagliati. Vi posto l'esercizio e la mia soluzione.

Trovare tutte le μ e λ tali che $ f in C(RR) $ , (che credo significhi appunto continua su tutto R).
$ f(x) = \{(\mux^3+\lambdax^2),(4cos(\pix)+\lambdaln|x|),(x-1+\mu\frac{x^{x+3}-1}{x^2+3x}):} $ per $x in \{([-1,+\infty)),([-3,-1)),((-\infty,-3)):} $

I punti di interesse sono quindi in $x_1=-3$ e $x_2=-1$
Visto che la funzione deve essere continua impongo che i limiti dx e sx siano uguali nell'intorno di questi valori.
-3) $lim_{x \to-3-}x-1+\mu\frac{x^{x+3}-1}{x(x+3)}=lim_{x\to-3+}4cos(\pix)+\lambdaln|x|$ ;
uso il limite notevole $lim_{z\to0}frac{a^z-1}{z}=ln(a)$ dove $z=x+3$ se $x+3\to0$ e riscrivo:
$lim_{x \to-3-}x-1+\mu\frac{ln(3)}{x}=lim_{x\to-3+}4cos(\pix)+\lambdaln|x|$ ;
$-3-1+\mufrac{ln(3)}{-3} = -4+\lambdaln(3); -> -frac{\mu}{3} = \lambda$

-1) $lim_{x\to-1-}4cos(\pix)+\lambdaln|x|=lim_{x\to-1+}\mux^3+\lambdax^2 -> -4=-\mu+\lambda -> \lambda=\mu-4$

a questo punto metto a sistema ed ottengo:
$\{(\mu=-3\lambda),(\lambda=\mu-4),(\lambda=-frac{\mu}{3}):}$ da cui: $\lambda=\lambda -> \mu-4=-frac{\mu}{3} -> \mu=6$; quindi: $\mu=\mu -> -3\lambda=6 ->\lambda=-2$

ed ora il punto in mi perdo: se calcolo i limiti sostituendo per i valori di μ e λ vedo che:
-3) $lim_{x \to-3-}x-1+\mu\frac{ln(3)}{x}=lim_{x\to-3+}4cos(\pix)+\lambdaln|x| -> -4-2ln(3) = -4-2ln(3);$
nell'intorno di $x_1=-3$ ho continuità;

-1)$lim_{x\to-1-}4cos(\pix)-2ln|x|= 4cos(-\pi)-2ln(1) = -4 $ mentre $lim_{x\to-1+}6x^3-2x^2 = -6-2 = -8 $ e quindi non ho continuità!

Ma come è possibile se prima ho trovato i parametri imponendo l'uguaglianza dei limiti? i valori dei parametri che ho trovato sono sbagliati? ho fatto degli errori nel calcolo del limite? ho sbagliato il sistema di equazioni?
Tutta questa serie di esercizi mi da lo stesso problema: un punto è continuo e l'altro no... non so proprio dove sbattere la testa! se qualcuno ha la possibilità di spiegarmi dove sbaglio.. grazie!

[psykomantisita]

Ciao,
guarda se non sbaglio (e può essere) te dovresti imporre:

$lim_(x->x_0^-) f(x) = lim_(x->x_0^+) f(x) = f(x_0)$

perchè la continuità ce l'hai quando $lim_(x->x_0) f(x) = f(x_0)$, quindi quando tutti e due i limiti destro e sinistro convergono al valore della funzione nel punto che nel tuo caso rientra in:

$ lim_{x \to-3-}x-1+\mu\frac{x^{x+3}-1}{x(x+3)}=lim_{x\to-3+}4cos(\pix)+\lambdaln|x| = 4cos(\pi -3)+\lambdaln|-3| $

e

$ lim_{x \to-1-}4cos(\pix)+\lambdaln|x|=lim_{x\to-1+}\mux^3+\lambdax^2 = \mu-1^3+\lambda-1^2 $

Perché preso come l'hai fatto te non mi sembra di vedere errori!

[strongmmc]

guarda no ho capito come si possa fare. se riesci a specificare meglio il concetto, e magari dimostrarmi come applicarlo a questo esempio, te ne sarei grato.

[vict85]

Devi calcolare i limiti separatamente (le soluzioni sono funzioni in \(\displaystyle \lambda \) e \(\displaystyle \mu \)) e poi uguagliare le funzioni costruendo un sistema non lineare in \(\displaystyle \lambda \) e \(\displaystyle \mu \). Nota che devi anche porre che i vari limiti siano finiti.

P.S. Nel caso specifico il sistema sarà lineare

[vict85]

Insomma il tuo metodo era corretto anche se io avrei rimandato il fare l'uguaglianza. Hai però fatto un errore nel punto -3: hai sostituito un \(\lambda\) con un \(\mu\).

[strongmmc]

ah si chiedo scusa, ora correggo, non era voluto. la frazione al terzo punto moltiplica proprio $\mu$, non $\lambda$.

comunque, mi hai detto che il procedimento è giusto.
Allora perchè ottengo una discontinuità di secondo grado che non dovrei avere?? altrimenti non sto dimostrando proprio niente...

[vict85]

Probabilmente hai fatto qualche errore di calcolo in giro.

Comunque il limite notevole che citi:
\[ \lim_{f(x)\to 0} \frac{a^{f(x)} -1 }{f(x)} = \ln(a) \]
richiede la condizione aggiuntiva che si abbia \(\displaystyle a>0 \). Ma tu hai \(\displaystyle a = x \), che non solo non è costante, ma che è negativo. Sono un po' arrugginito con i limiti e quindi non ricordo bene come trattare questi casi. Magari qualcuno ci illumina più avanti.


In ogni caso occupiamovi punto per punto.

\(\displaystyle \lim_{x\to -1^{+}} \mu x^3 + \lambda x^2 = -\mu + \lambda \)
\(\displaystyle \lim_{x\to -1^{-}} 4\cos(\pi x) + \lambda \ln\lvert x\rvert = 4\cos( -\pi) + \lambda \ln 1 = -4 \)
\(\displaystyle \lim_{x\to -3^{+}} 4\cos(\pi x) + \lambda \ln\lvert x\rvert = 4\cos( -3\pi) + \lambda \ln 3 = -4 + \lambda \ln 3 \)
Supponendo che valga quel limite notevole:
\(\displaystyle \lim_{x\to -3^{-}} x - 1 + \mu \frac{x^{x+3} - 1}{x(x+3)} = -4 - \mu \frac{\ln 3}{3}\)

Il famoso sistema (purché quel limite notevole sia corretto) diventa quindi:
\(\displaystyle \begin{cases} -\mu + \lambda &= -4 \\
-4 + \lambda \ln 3 &= -4 - \mu \frac{\ln 3}{3}
\end{cases} \)
Ovvero:
\(\displaystyle \begin{cases} -\mu + \lambda = -4 \\
+\frac13\mu + \lambda = 0
\end{cases} \)
\(\displaystyle \begin{cases} -\mu + \lambda = -4 \\
+\frac43\mu = 4
\end{cases} \)
\(\displaystyle \begin{cases} -\mu + \lambda = -4 \\
\mu = 3
\end{cases} \)
\(\displaystyle \begin{cases} \lambda = -1 \\
\mu = 3
\end{cases} \)

Se non ho fatto anche io errori di calcolo.

[strongmmc]

si, esatto... nell'equazione che avevo su carta ho scritto μ = -3μ + 12 che ovviamente dà μ = 3, ma siccome sono molto sveglio in generale allora ho sottratto anzichè sommare, ottenendo 2μ = 12 anzichè 4μ = 12 ...
adesso mi devo rivedere tutti gli esercizi svolti alla ricerca di errori simili, perchè non ne ho nemmeno uno giusto...

ti ringrazio molto vic85... la prossima volta, prima di disturbarvi ulteriormente, mi rifarò i calcoli un paio di volte!