Insieme derivato in R

[ElCastigador]

E' il secondo esercizio che posto di questo tipo,ma vorrei capire bene l'approccio ad esercizi come questo.

Il derivato di {x-[x]:x appartiene ad R} è [0,1]
ps:con [x] intendiamo la parte intera di x

Ora io ho ragionato cosi:
{x-[x]:x appartiene ad R} dovrebbe essere l'intervallo [0,1],quindi l'affermazione dovrebbe ridursi a
Il derivato di [0,1] è [0,1].Ora se il mio ragionamento è corretto,arrivato qui i miei dubbi sono 2:
1)In generale in esercizi del genere come verifico se l'affermazione è vera o falsa?
2)Nel caso riesca a verificare che gli insiemi corrispondono,come faccio a essere sicuro che non esistano altri punti di accumulazione al di fuori di quelli dell'insieme dato dall'esercizio,che quindi renderebbero l'affermazione falsa?

[Trilogy]

Veramente credo che sia $$\{x-[x]\mid x\in\mathbb R\}=[0,1).$$ Comunque in generale per provare che due insiemi sono uguali puoi dimostrare la doppia inclusione. Parti con un elemento di $[0,1]$ e verifichi che sia di accumulazione per $[0,1)$, usando la definizione o quello che sai, e poi prendi un punto di accumulazione per $[0,1)$ e dimostri che sta in $[0,1]$.

[ElCastigador]

Non ho ben compreso come fare,potresti abbozzarmi l'esercizio?L'affermazione quindi è vera oppure falsa?Se è vera come lo dimostro?

[Trilogy]

Intanto siamo d'accordo che $\{x−[x]\ |\ x\in\mathbb R\}=[0,1)$? Visto questo, vogliamo dimostrare che l'insieme dei punti di accumulazione di $[0,1)$, che scriviamo $D([0,1))$, è uguale a $[0,1]$.

Partiamo facendo vedere che se un elemento appartiene a $[0,1]$, allora appartiene a $D([0,1))$. Sia $x\in[0,1]$. Dobbiamo dimostrare che ogni intorno di $x$, privato del punto $x$, interseca $[0,1)$.

Il secondo passo è dimostrare che se un elemento sta in $D([0,1))$, allora sta anche in $[0,1]$. In realtà forse questo punto è più facile vederlo così: se un elemento non sta in $[0,1]$, allora non sta in $D([0,1))$.