relazione tra limiti notevoli ed equivalenze asintotiche

[xshadow]

C'è una relazione tra questi due argomenti?

ad esempio un limite notevole famoso è : $ lim_(x -> 0) sinx/x=1 $

mentre la corrispondente equivalenza asintotica è:
$ sinx~ x $ valido solo nella situazione in cui $ xrarr 0 $


ora che relazione c'è tra queste due diverse scritture? alla fin fine dicono la stessa cosa o no?
e ad esempio per il calcolo di un limite applicare direttamente l'equivalenza asintotica(posta che sia soddisfatta la condizione di x che tende al valore richiesto) sostituendo a una funziona un'altra ad essa equivalente oppure applicare il corrispettivo limite notevole(magari dopo aver ricondotto una certa espressione nella forma del limite opportuna,ad esempio moltiplicando e dividendo il limite per x/x o cosi via...) corrisponde,in fin dei conti, a fare la stessa cosa? o meglio si arriva allo stesso risultato?

e inoltre mi pare che talvolta i limiti notevoli cosi come l'equivalenze asintotiche non portino al risultato corretto del limite (questo di solito quando ad esempio al numeratore c'è una somma di infinitesimi dello stesso ordine) ,giusto?

perche alla fine mi pare che limite notevole ed equivalenza asintotica siano solo un diverso modo di descrivere una situazione la quale si deduce a sua volta dalle formule di taylor,nel senso che i limiti notevoli derivano in un certo modo dalla serie/formula di taylor,visto che corrispondono alla serie di T/mclaurin fermate al primo ordine no?


Avrei bisogno di alcune vostre conferme, GRAZIE MILLE!!

[Emar]

Corretto. Puoi vedere tutto come derivante dall'espansione di Taylor, che, se fermata al primo ordine ti da l'equivalenza asintotica. E certo, i limiti notevoli si possono esprimere anche in forma asintotica o di o-piccolo, non fa differenza.

[francicko]

Condivido pienamente!
Infatti bisogna usare gli asintotici con cautela, quando ci troviamo ad esempio con limiti del tipo $lim_(x->0)(e^x-1)/x$, possiamo benissimo sostituire alla funzione $e^x-1$, l'asintotico $x$, ottenendo correttamente come risultato del limite il valore $1$;
Diverso è il caso già del $lim_(x->0)(e^x-1-x)/(x^2)$, qui la sostituzione della funzione $e^x-1$ con l'asintotico $x$ porterebbe ad un risultato errato, in quanto occorre uno sviluppo più accurato della funzione $e^x-1$, cioè uno sviluppo in serie che va oltre il termine di $1°$ grado.
Ditemi se sbaglio!
Saluti!

[xshadow]

grazie mille ad entrambi!!

dunque mi avete confermato la mia supposizione(deduzione) che i limiti notevoli e le equivalenze asintotiche sono due modi di esprimere una stessa situazione...ed entrambi derivano direttamente da taylor

[xshadow]

Condivido pienamente!
Infatti bisogna usare gli asintotici con cautela, quando ci troviamo ad esempio con limiti del tipo $lim_(x->0)(e^x-1)/x$, possiamo benissimo sostituire alla funzione $e^x-1$, l'asintotico $x$, ottenendo correttamente come risultato del limite il valore $1$;
Diverso è il caso già del $lim_(x->0)(e^x-1-x)/(x^2)$, qui la sostituzione della funzione $e^x-1$ con l'asintotico $x$ porterebbe ad un risultato errato, in quanto occorre uno sviluppo più accurato della funzione $e^x-1$, cioè uno sviluppo in serie che va oltre il termine di $1°$ grado.
Ditemi se sbaglio!
Saluti!

esatto...mi pare di aver letto piu volte che in genere è sconsigliato applicare le equivalenze asintotiche al numeratore o denominatori quando ivi sono presenti piu infinitesimi correlati dall'operazione di somma o sottrazione...

in realtà leggendo su piu siti non mi pare che applicare il concetto di equivalenza asintotica(o limite notevoli) sia sempre sbagliato quando ci si trova una somma di infinitesimi ma sta un po' a noi capire quando lo è e quando no....

in genere è sbagliato quando al numeratore c'è una somma/differenza(soprattutto) di infinitesimi dello STESSO ORDINE per lo stesso valore ....

ad esempio le due funzioni al numeratore nel caso da te indicato

In questi casi è percio indicato usare taylor su una dei due infinitesimi fino a un ordine maggiore di quello dell'altro infinitesimo, in questo caso sarebbe sufficiente l'ordine 2.

Qualcuno mi corregga se sbaglio perche non sto affrontando nessun corso di matematica che tratta l'argomento cosi approfondito ma dato che mi interessava ho fatto un po' da autodidatta.



AH un'altra curiosità: come mai tutti i limiti notevoli(o la stragrande maggioranza cmq)danno come risultato del limite 1 mentre quello del coseno da come risultato 1/2? per ricondurlo alla forma degli altri limiti ,a essere precisi, non sarebbe stato piu opportuno portare l1/2 al denominatore del limite in modo da ottenere come risultato 1? (anche se alla fine è la stessa identica cosa lo so...era giusto una curiosità..)

[francicko]

Per quanto riguarda il limite notevole $lim_(x->0)(1-cosx)/x^2=1/2$, in esso si può applicare l'asintotico che come giustamente affermato, altro non è che l'espansione di taylor arrestata al primo ordine, infatti possima scrivere $cosx$
nella forma equivalente $root(2)(1-sin^2(x))$, a questo punto essendo nell'intorno $x=0$, $sinx$, asintotico ad $x$, possiamo sostituire ad $root(2)(1-sin^2(x))$ il termine asintotico $root(2)(1-x^2)$,a cui possiamo infine sostituire il termine asintotico $(1-x^2/2)$, ottenendo $lim_(x->0)(1-(1-x^2/2))/x^2=lim_(x->0)(x^2/2)/x^2=1/2$
Diverso è il caso del $lim_(x->0)(1-x^2/2-cosx)/x^4$, qui l'asintotico a numeratore si elide, pertanto si ha il coinvolgimento
di termini successivi al primo ordine di sviluppo, e per il corretto calcolo del limite dobbiamo sostituire ad $cosx=root(2)(1-sin^2(x)$ lo sviluppo più esatto: $1-x^2/2+x^4/(4!)+o(x^6)$, avremo pertanto $lim_(x->0)(1-x^2/2-cosx)/x^4=lim_(x->0)(1-x^2/2-1+x^2/2-x^4)/(4!)=(-x^4/24)/x^4=-1/24$, che è il corretto valore del limite;
La risposta che ha dato @Emar, è perfetta!

x@shadow. Le tue considerazioni sono esatte, per quanto riguarda il fatto che diversi limiti notevoli danno come risultato $1$, secondo me è un caso, poi ad esempio alcuni limiti sono strettamente correlati, come ad esempio $lim_(x->0)(sinx)/x=1$, ed $lim_(x->0)(tgx)/x=1$, quindi è ovvio che diano lo stesso limite, in quanto ambedue funzioni $sinx$ ed $tangx$ asintotiche ad $x$ nell'intorno $x=0$.

Correggetemi pure se alcune mie considerazioni sono errate!
Saluti!!