Riscrivere una serie di potenze in altro modo:

[Ster24]

Buonasera !
Ho questa serie di potenze:
$\sum_{n=k}^(\infty) [ n(n-1)..(n-k+1)a_n z^(n-k)]$ , ora il professore la riscrive come:
$\sum_{n=0}^(\infty) (n+1)(n+2)..(n+k)a_(n+k)z^n$ non capisco proprio come fa, cioè sto da parecchio e non ci arrivo, potete elencarmi come fare? Grazie a tutti !

[vict85]

Ti confonde il fatto che ha usato la stessa lettera. In realtà ha fatto la sostituzione \(m = n -k\) e ha usato \(m\) nella seconda invece che \(n\).

[Ster24]

Ho provato ma non mi torna $(n+1)(n+2)..(n+k)$ cioè ottengo $(n-k-1)(n-k-2)..(n+1)$ perchè?

[Frink]

Devi considerare che le parentesi in pratica si scambiano di posto.

Esempio:
L'ultima parentesi con $n$ come variabile è $(n-k+1)$. Questa, col cambio di variabile, diventa $(m+1)$ che è al primo posto nella seconda forma della sommatoria

La prima parentesi con $n$ come variabile è $(n-1)$. Questa, col cambio di variabile, diventa $(m+k-1)$ che è la penultima nella seconda forma della sommatoria.

Infine, $n$ si trasforma in $m+k$ che è l'ultimo termine della tua sommatoria.