integrale doppio

[andros]

Buongiorno, ho questo integrale doppio da risolvere $\int int tan(x+y)/(x+y) dxdy$ con $pi/4<=x+y<=pi/3$ e $x<=y<=2x$
Ho fatto cosi :
posto $u=x+y$ e $ v=y/x$ il nuovo dominio è $pi/4<=u<=pi/3$ e $1<=v<=2$.
per il calcolo del determinante della matrice jacobiana ($phi$ è il cambiamento di coordinate):
Si ha che $x=u/(v+1)$ e $y=(uv)/(v+1)rArr Jphi (u,v) =((1/(v+1),-u/(v+1)^2),(v/(v+1),u/(v+1)^2)) rArr det(Jphi (u,v))=u/(v+1)^2$.

L'integrale di partenza diventa :
$\int int tan(u)/(u) u/(v+1)^2dudv rArr \int_(pi/4)^(pi/3) tan(u) du \int_1^2 1/(v+1)^2dv rArr [-log|cos u|]_(pi/4)^(pi/3) [-1/(v+1)]_(1)^(2) =(-1/3+1/2)(log((1/sqrt(2))/(1/2)))=1/6 log(sqrt 2)$
giusto ?

[andros]

UP

[Frink]

Dovrebbe essere corretto. Un consiglio, che con me ha funzionato sempre piuttosto bene:

se parti dall'inversa del cambio di variabili, ossia da $phi^-1$ come hai fatto tu, invece di invertire per ottenere $phi$ e calcolarne lo Jacobiano, puoi calcolare la matrice Jacobiana di $phi^-1$ e ricordare che la Jacobiana dell'inversa è l'inversa della Jacobiana...

Ciao!