Cardinalità dell'insieme degli aperti di $RR$

[Plepp]

Per semplicità, pongo
\[\alpha:=|\{\text{sottoinsiemi aperti di } \mathbb{R}\}|\qquad c:=|\mathbb{R}|\]
(uso $|\cdot|$ per indicare la cardinalità). Per mostrare che $\alpha=c$, il Prof. ha dimostrato le due "disuguaglianze" $alpha\ge c$, ovvia, e $alpha\le c$.

Per ottenere quest'ultima, si sfrutta, non so in che modo, il fatto che ogni aperto è unione numerabile e disgiunta di insiemi appartenenti a famiglie del tipo
\[\Omega_k:=\{v+[0,1/2^k)\,|\, 2^kv\in \mathbb{Z}\}\qquad k=0,1,2,\dots\]
Come dovrei dedurre da ciò che $\alpha\le c$?

Forse mi sto perdendo in un bicchier d'acqua...

EDIT. Aggiungo: stabilito che $\alpha=c$, è ovvio che anche $|\{"chiusi"\}|=c$. Ma come provo che $|\{F_\sigma\}|=|\{G_\delta\}|=c$? (Con $F_\sigma$ [$G_\delta$] indico un'unione [intersezione] numerabile di chiusi [di aperti]).

[Plepp]

Forse mi sto perdendo in un bicchier d'acqua...

Confermo

Credo di aver capito, ditemi un po' che ne pensate.

Ciascun $\Omega_k$ è numerabile, per cui pure l'unione $\Omega:=\bigcup_{k=1}^\infty \Omega_k$ lo è: $\Omega=\{Q_i\}_{i\in\mathbb{N}}$. Se $V\subseteq RR$ è un aperto, esiste un insieme di indici $I\subseteq NN$ per cui $V=\bigcup_{i\in I}Q_i$. Quindi gli aperti sono al più quanti i possibili sottoinsiemi $I$ di $NN$. Fine.

Se il ragionamento del Prof. è effettivamente di questo tipo, al suo posto, anziché mettere in mezzo le $\Omega_k$ - che mi sembra non ci azzecchino proprio niente con questo fatto - avrei usato il fatto che $RR$ ha una base numerabile di aperti.

La questione degli $F_sigma$ e i $G_delta$ dovrebbe sistemarsi in modo analogo.

Curiosità: a lezione è stato detto, ma non dimostrato, che anche la $\sigma$-algebra dei boreliani di $RR$ ha la potenza del continuo. Sapreste darmi una spiegazione di questo fatto?

[Plepp]

Ciao Sergio!

Una prima spiegazione potrebbe essere che la \(\sigma\)-algebra di Borel su \(\mathbb{R}\) può essere generata dall'insieme degli intervalli \((-\infty,x)\) con \(x\in\mathbb{R}\), che ha la cardinalità del continuo, ma non so se basterebbe.

Immagino tu intenda questo: quella di Borel è la più piccola $\sigma$-algebra contenente gli intervalli di quel tipo.
In effetti, ogni $\sigma$-algebra che contiene le semirette sinistre contiene anche ogni intervallo del tipo $[a,b)$ (che si può esprimere come intersezione di due semirette) e quindi anche ogni intervallo aperto (che è unione numerabile di intervalli $[a,b)$). Quindi la $\sigma$-algebra in questione contiene gli aperti e infine i boreliani.
Continuando a fare unioni numerabili a destra e a manca poi si vede che

Si potrebbe però considerare che può essere generata anche dall'insieme degli intervalli \( (-\infty,x) \) con \( x\in\mathbb{Q} \)

Il dubbio però rimane...anche senza mettere in mezzo le semirette, sapevo già di poter generare l'algebra di Borel con un set numerabile. La questione è se e come si possa sfruttare questo tipo di informazione per arrivare alla conclusione