da gugo82 » 24/12/2014, 10:47
Mah... Innanzitutto, a occhio, non direi che quella roba lì è una EDO risolvibile elementarmente.
Molto probabilmente, le soluzioni coinvolgono funzioni speciali.
Tanto per semplificare un po' i conti, nota che, posto:
\[
\phi (t) = e^{-t^2}\ u(t)
\]
hai:
\[
\begin{split}
\phi^\prime (t) &= e^{-t^2}\ \Big( -2t\ u(t) + u^\prime (t)\Big)\\
\phi^{\prime \prime} (t) &= e^{-t^2}\ \Big( 4t^2\ u(t) -2t\ u^\prime (t) - 2\ u(t) -2t\ u^\prime (t) + u^{\prime \prime}(t)\Big)\\
&= e^{-t^2}\ \Big( u^{\prime \prime}(t) -4t\ u^\prime (t) + (4t^2 -2)\ u(t)\Big)
\end{split}
\]
sicché:
\[
\begin{split}
\phi^{\prime \prime} (t) +2t\ \phi^\prime (t) + (4k+2)\ \phi(t)&= e^{-t^2}\ \Big( u^{\prime \prime}(t) -4t\ u^\prime (t) + (4t^2 -2)\ u(t)\Big) \\
&\phantom{=} + e^{-t^2}\ \Big( -4t^2\ u(t) + 2t\ u^\prime (t)\Big) \\
&\phantom{=} + (4k+2)\ e^{-t^2}\ u(t)\\
&= e^{-t^2}\ \Big( u^{\prime \prime}(t) -2t\ u^\prime (t) +4k\ u(t)\Big)\; ;
\end{split}
\]
conseguentemente la nuova incognita $u$ risolve la EDO:
\[
u^{\prime \prime}(t) -2t\ u^\prime (t) +4k\ u(t) = 0
\]
ed, ovviamente, le soluzioni di tale EDO (che è lineare e del secondo ordine, ma ha coefficienti non costanti!) dipendono dai valori del parametro $k$.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)