Soluzioni di un'equazione

[alevise1992]

Ciao a tutti

In un esercizio mi chiedono di dimostrare che l'equazione seguente ha esattamente due soluzioni:

$ 1 - x^4 = log(1 + x^2) $

Mi trovo in difficoltà risolverla direttamente mi sembra difficile e probabilmente non è quello che mi si richiede di fare.

Avevo pensato di utilizzare lo sviluppo di taylor del logaritmo centrato in un punto generico $x_0$ cercando poi di semplificare in qualche modo il calcolo, ma dopo aver fatto un paio di conti (una paginetta ) non ho concluso niente

avete qualche suggerimento sulla risoluzione del quesito?

Grazie mille

[gugo82]

Un piccolo studio della monotonia della "funzione deficit":
\[
\Delta (x) = \log (1+x^2)+x^4-1
\]
potrebbe essere d'aiuto.

[alevise1992]

Si,potrebbe essere la soluzione corretta sicuramente la più veloce.. però questo esercizio mi è stato dato prima di affrontare le derivate, in quanto stavamo ancora discutendo sui limiti, quindi non vorrei ci fosse un altro modo per risolverlo oltre a questo

[stormy]

$y=ln(1+x^2)$ e $y=1-x^4$ sono due funzioni pari
anche senza l'uso delle derivate è facile capire che il grafico della prima "assomiglia" a quello di una parabola con concavità verso l'alto che avesse il vertice nell'origine,il grafico della seconda "assomiglia" a quello di una parabola con concavità verso il basso che avesse il vertice in $(0,1)$
i grafici si intersecano in due punti di ascissa $alpha$ e $-alpha$ con $0<alpha<1$

[alevise1992]

ok, ho capito

Solo per curiosità, esisterebbero altri metodi per risolvere questo quesito, oltre a questo propostomi da voi?