Integrale Triplo

[w3ns]

Salve a tutti dovrei integrare la funzione:

$ 1/sqrt((x-1)^2 + (y-2)^2) $

Sull'insieme A:

$ A:[(x,y,z)in R^3 : z <= y ,z>= -2*sqrt((x-1)^2 + (y-2)^2) +2, z>=0, x>=0 , (x-1)^2 + (y-2)^2 <=4] $

allora Imposto l'integrale per fili :

$ int int_((x-1)^2 + (y-2)^2 <=4) dx dy int_(y)^(-2*sqrt((x-1)^2 + (y-2)^2)+2) f(x,y,z) dz $


è corretto?
Grazie.

[21zuclo]

io farei un cambio di coordinate

$ { ( x-1=\rho\cos\theta ),( y-2=\rho\sin\theta ),( z=z ):}\to { ( x=1+\rho\cos\theta ),( y=2+\rho\sin\theta ),( z=z ):} $

ah NON ti scordare lo Jacobiano!

[w3ns]

Si quello nel successivo passaggio, vorrei sapere se l'impostazione dell'integrale è formalmente giusta.

[21zuclo]

a colpo d'occhio direi che nella $z$ è sbagliato un estremo di integrazione..

perché ti dice $ z\leq y, z\leq-2\sqrt((x-1)^2+(y-2)^2)+2 $ e poi $z\geq 0$

uhm.. io farei $ 0\leq z\leq -2\sqrt((x-1)^2+(y-2)^2)+2 $

[w3ns]

scusa ho corretto, era z>= della funzione, ho corretto il testo, così dovrebbe tornare?

[21zuclo]

allora sì.. dovrebbe essere esatto!..

[w3ns]

Ok grazie!

[w3ns]

E per chi fosse interessato gli estremi di integrazione sono invertiti in z!

[vict85]

$ int int_((x-1)^2 + (y-2)^2 <=4) dx dy int_(y)^(-2*sqrt((x-1)^2 + (y-2)^2)+2) f(x,y,z) dz $

Non faccio queste cose da un po’, ma \(\displaystyle z_1(x,y) \ge z_2\ge z(x,y) \) e \(\displaystyle f(x,y,z) = g(x,y) \). Pertanto, ignorando per un momento gli estremi, ci troviamo in una situazione del tipo:
\(\displaystyle \iint g(x,y) \biggl[\int\, dz\biggr]\, dx\,dy \)

Ma forse sono solo io che comprendo male la scrittura sopra. Tra l'altro ti suggerisco di fare la trasfromazione
\(\displaystyle \begin{cases} \tilde{x} = x - 1 \\ \tilde{y} = y - 2 \\ \tilde{z} = z-2 \end{cases} \)
di Jacobiano ovvio prima di metterti a calcolare gli estermi di integrazione. Oppure fai direttamente le trasformazioni segnalate da 21zuclo (anche se penso che possa essere comodo traslare la \(\displaystyle z \) ).

Infatti
\(\displaystyle \begin{cases} \tilde{z} &\le \tilde{y} \\
\tilde{z} &\ge -2\\
\tilde{z} &\le -2\rho(\tilde{x},\tilde{y})\\
\rho(\tilde{x},\tilde{y})^2 &\le 4 \\
\end{cases} \)
da cui derivi
\(\displaystyle \begin{cases} \tilde{z} \le \tilde{y} \\
\tilde{z} \ge -2\\
\tilde{z} \le -2\rho(\tilde{x},\tilde{y})\\
0 \le \rho(\tilde{x},\tilde{y}) \le 2 \\
-2 \le \tilde{y} \le 2
\end{cases} \)
(sperando di non aver fatto errori in giro). Ho scritto \(\displaystyle \rho(\tilde{x},\tilde{y}) \) perché si dovrà fare un secondo cambiamento di coordinate e per comodità di scrittura.

[w3ns]

Grazie per la risposta, non capisco però come diviene l'integrale dopo le tue trasformazioni.