da francicko » 21/12/2014, 12:40
Il risultato che hai ottenuto credo sia corretto, ho controllato con wolfram.
La prima cosa da osservare è che a denominatore il termine $e^(x^6)-1$ è asintotico ad $x^6$, , non vengono coinvolti termini successivi al $1°$, pertanto possiamo sostituire tranquillamente ad $e^(x^6)-1$ il termine $x^6$;
pertanto possiamo riscrivere il limite come $lim_(x->0) ((root(2)(1+tg(x^2))-1-sin(x^2)/2)(ln(1+x)-x))/(x^6)$.
A numeratore invece bisogna necessariamente sviluppare in serie di taylor le funzioni $root(2)(1+tg(x^2))=1+x^2/2-x^4/8+o(x^6)$, la funzione $(sin(x^2))/2=x^2/2-o(x^6)$, e la funzione $log(1+x)-x=-x^2/2+o(x^3)$.
sostituendo opportunamente in modo da trascurare gli infinitesimi di grado superiore ad $o(x^6)$ che si otterrebbero dal prodotto a numeratore , avremo $lim_(x->0)((x^2/2-x^4/8-(x^2/2))(-x^2/2))/x^6=lim_(x->0)((-x^4/8)(-x^2/2))/x^6=(x^6/16)/x^6=1/16$.
Spero che la mia spiegazione sia esatta, diversamente spero che qualcuno mi corregga.
Saluti!
"Anche una sola ingiustizia minaccia la giustizia di tutti."
"Martin Luther King"