Facciamo un attimo il punto. Vogliamo dimostrare il principio del buon ordinamento, cioè
Ogni sottoinsieme non vuoto di $NN$ ha minimo
Sia $T$ sottoinsieme di $NN$ che non ha minimo.
Dimostriamo per induzione (induzione forte, cioè il principio di induzione 2) che $n !in T$ per ogni $n in NN$.
(metto in spoiler la dimostrazione, è identica a quella scritta sul libro)
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
BASE: $0 !in T$. Questo è vero, perchè se per assurdo $0 in T$ allora $0$ sarebbe il minimo di $T$.
PASSO: fissiamo $n>=0$.
ipotesi induttiva: per ogni $k in {0,1,...,n}$ si ha $k !in T$
tesi induttiva: $n+1 !in T$.
Se per assurdo $n+1 in T$, dato che per ipotesi nessun elemento minore di $n+1$ appartiene a $T$,
si avrebbe che $n+1$ sarebbe il minimo di $T$, assurdo.
Da questo segue immediatamente che $T= emptyset$
Ciò significa che l'unico sottoinsieme di $NN$ che non ha minimo è l'insieme vuoto.
Quindi abbiamo dimostrato il "principio del buon ordinamento", sfruttando il "principio di induzione 2".