da ciampax » 23/12/2014, 13:54
Allora, partiamo dal principio: la funzione è prodotto di due funzioni periodiche, $\cos^2(\pi t)$ di periodo $T=1$ e $\sin(2\pi t)$ anch'essa di periodo $T=1$. Verificarlo per la seconda è immediato, mentre per la prima basta considerare questo: il quadrato rende la funzione coseno sempre positiva, per cui tracciando il suo grafico otterrai una sorta di "coppia d'archi" (tipo McDonalds!) che, ovviamente, ti portano a concludere la periodicità pari a $T=1$ (infatti il grafico della funzione si ripete una volta preso $t>1$).
Ora, sei riuscito a scrivere la funzione in questo modo
$$u(t)=\frac{1}{2}\sin(2\pi t)+\frac{1}{4}\sin(4\pi t),\qquad t\in[0,1]$$
grazie al ragionamento per la periodicità (tra l'altro, quello che dici è giusto, tuttavia devi tenere conto che quando sommi due funzioni con periodi diversi, devi prendere il minimo comune multiplo dei periodi o, in generale, il più grande dei due, ecco perché in quello che hai scritto non ti tornava il $T=1$) e questo ti permette di concludere una serie di cose: punto primo che la funzione è dispari, e quindi il suo sviluppo deve essere del tipo
$$u(t)=\sum_{k=1}^\infty b_k \sin(2k\pi t)$$
Punto secondo che, osservando che la tua funzione, scritta nel secondo modo (con le sole funzioni seno) presenta i termini che si otterrebbero nello sviluppo per $k=1,\ k=2$, i coefficienti dello sviluppo sono i seguenti (senza svolgere calcoli)
$$b_1=\frac{1}{2}\qquad b_2=\frac{1}{4},\qquad b_k=0,\ k>2$$
Docente: Allora, mi dica, se ha una matrice quadrata di ordine [tex]$n$[/tex] qual è il numero massimo di autovalori di questa contati con la loro molteplicità?
Studente: (dopo alcuni istanti di silenzio profondo) [tex]$n\sqrt{2}$[/tex]!!!
ho paura di aver sbagliato qualcosa
