Successione dipendente da un parametro

[aljabr]

Buone feste a tutti, prima di tutto!

Ho un problemino con questo esercizio:

Al variare di $x in $R trovare l’insieme C degli x tali che la successione $a_n(x)$ è convergente e
l’insieme L degli x tali che $a_n(x)$ è limitata:

$a_n(x)=(-1)^n cos((1)/((n+1)!))(1-tan (sqrt(n+2)-sqrt(n+1)))^(n^(2 lambda ^3))$.


Ho pensato che per la limitatezza posso vedere se è crescente oppure decrescente facendo la derivata... Ma non so se sia la strada migliore...

Qualcuno conosce un metodo standard per risolvere questi esercizi? Tks

[ostrogoto]

Dov'e' x nell'espressione?

P.s. Potrebbe essere utile il teorema per il quale se una successione converge allora e' limitata, poi se diverge ovviamente no, se e' irregolare la si studia...

[aljabr]

Credo ci sua un errore nel testo, il parametro è $lambda$ e non x

[ostrogoto]

per $ nrarr+oo $
$ tan(sqrt(n+2)-sqrt(n+1))=tan[sqrt(n)(sqrt(1+2/n)-sqrt(1+1/n))]=tan[sqrt(n)(1+1/n-1-1/(2n)+o(1/n))]=tan[1/(2sqrt(n))+o(1/sqrt(n))]=1/(2sqrt(n))+o(1/sqrt(n)) $

$ beta_n=(1-tan(sqrt(n+2)-sqrt(n+1)))^(n^(2K^3))\= exp[n^(2K^3)ln(1-1/(2sqrt(n))+o(1/sqrt(n)))]~exp(-n^(2K^3)/(2sqrt(n)))=exp(-1/2n^(2K^3-1/2)) $

$ 2K^3-1/2=0 rarr K=root(3)(1/4) $
$ beta_nrarr{ ( e^(-1/2)" "k=root(3)(1/4) ),( 0" "k>root(3)(1/4) ),( 1" "k<root(3)(1/4) ):} $

Segue che la successione proposta converge a 0 per $ k>root(3)(1/4) $ mentre e' irregolare negli altri casi. [A meno di miei errori di calcolo]
Per un teorema segue che la successione dove converge e' limitata. Altrove la limitatezza va studiata in maniera diversa. [mi sono venuti i polpastrelli quadrati scrivendo formulacce, poi scrivero' anche intorno alla limitatezza negli altri casi...]

[aljabr]

per $ nrarr+oo $
$ tan(sqrt(n+2)-sqrt(n+1))=tan[sqrt(n)(sqrt(1+2/n)-sqrt(1+1/n))]=tan[sqrt(n)(1+1/n-1-1/(2n)+o(1/n))]=tan[1/(2sqrt(n))+o(1/sqrt(n))]=1/(2sqrt(n))+o(1/sqrt(n)) $

$ beta_n=(1-tan(sqrt(n+2)-sqrt(n+1)))^(n^(2K^3))\= exp[n^(2K^3)ln(1-1/(2sqrt(n))+o(1/sqrt(n)))]~exp(-n^(2K^3)/(2sqrt(n)))=exp(-1/2n^(2K^3-1/2)) $

$ 2K^3-1/2=0 rarr K=root(3)(1/4) $
$ beta_nrarr{ ( e^(-1/2)" "k=root(3)(1/4) ),( 0" "k>root(3)(1/4) ),( 1" "k<root(3)(1/4) ):} $

Segue che la successione proposta converge a 0 per $ k>root(3)(1/4) $ mentre e' irregolare negli altri casi. [A meno di miei errori di calcolo]
Per un teorema segue che la successione dove converge e' limitata. Altrove la limitatezza va studiata in maniera diversa. [mi sono venuti i polpastrelli quadrati scrivendo formulacce, poi scrivero' anche intorno alla limitatezza negli altri casi...]

Ok... grazie mille!! Per la limitatezza negli altri casi mi dici poi?

[aljabr]

Una domanda però: il coseno non l'hai considerato perchè tanto diventa 1 per n che va a infinito? e $(-1)^n$?

[ostrogoto]

Se $ alpha_n>0" "AAninNN $ et $ alpha_nrarr0" "nrarr+oo $ allora
$ AAepsilon>0 EEbar(N) $ tale che $ AAn>bar(N) $ si ha $ |(-1)^nalpha_n|=alpha_n<epsilon $, cioe' $ (-1)^nalpha_nrarr0 $ per $ nrarr+oo $.
Ovviamente il cos va a 1 e non crea problemi.

La successione data in modulo converge $ AAkinRR $ quindi e' limitata e pur diventando irregolare per $ k<=root(3)(1/4) $ resta limitata.