certo, ci sono altri metodi, ma questo che abbiamo perseguito è il più facile.
Come infatti ti ho spiegato nel primo messaggio si è trattato di tante lungaggini burocratiche
per comprendere come funziona...
ora se ci riguardiamo alle spalle possiamo fare una generalizzazione
ogni volta che vedremo
$sin(x)$ diremo che esso è pressoché identico a $x$ se siamo nell'intorno di $0$
$sin(x)~~x$ per $x\to 0$
e così
$e^x-1~~x$ per $x\to 0$
$1-cos(x)~~x^2/2$ per $x\to 0$
facendo un po' di pratica capirai come è stato "inutile" moltiplicare e dividere ogni volta
l'importante è
1) ricordarsi i limiti notevoli
2) avere l'intuizione per sapere individuarli
3) fare tanti esercizi!
e infine osserva che
$sin(f(x))~~f(x)$ per $f(x)\to 0$
tutto ciò vale per ogni limite notevole!
ovvero per farti un esempio
$\lim_{x \to \infty} sin(1/x)/(1/x)$
puoi facilmente intuire che esso vale 1!