Devo calcolare la trasformata di fourier di \(\displaystyle G(x,t)= \frac{e^{\frac{-x^2}{4t}}}{\sqrt{4\pi t}} \) per ogni \(\displaystyle t>0 \)
Il libro lo risolve usando i teoremi sulle trasformate di fourier e le derivate,cioè:
$G(x,t)\in L^1(RR)$ e $G(x,t)\inC^1(RR)$ se considero G come funzione di x
Poi ho calcolato la derivata (rispetto alla x): $G_x(x,t)=\frac{-xG(x,t)}{2t}\in L^1(RR)$
quindi , per la proprietà delle trasformate di fourier: $F(G_x)(\epsilon)=i\epsilonF(G)(\epsilon)$
e sempre per le proprietà della trasformata:
$F(G_x)(\epsilon)=-\frac{F(xG(x,t))(\epsilon)}{2t}=-\frac{i[F(G)(\epsilon)]'}{2t}$
e quindi $[F(G)(\epsilon)]'=-2t\epsilonF(G)(\epsilon)$
tra l'altro ho provato a calcolare F(G)(0) ed è uguale a 1
Fin qui ok, è quest'ultimo passaggio che non riesco a capire:
$F(G)(\epsilon)=F(G)(0)e^{-t\epsilon^2}$
