Progressioni serie geometriche

[factotumleo]

Salve ragazzi potete aiutarmi per piacere a risolvere questo paio di serie geometriche?? Grazie mille

1) $ \sum_{i=0}^{n-1}d_i2^{i} \leq \sum_{i=0}^{n-1}2^{i} = ... $

So che si tratta di una serie geometrica di radice 2 e vorrei conoscere la forma generica finale.

2) $ \sum_{j = -1}^{-m}f_{j}2^{j} \leq \sum_{j = -1}^{-m}2^{j} = ... $

Anche in questo caso vorrei conoscere i passaggi per giungere alla forma generica finale!! Vi ringrazio molto!!!

Nel primo caso dovrebbe essere

$ \frac{2^{n-1} - 1}{2 -1} $

giusto?? e nel secondo caso?? Grazie ancora!!

[alessandro8]

Ciao.

Quella che tu chiami "radice" io l'ho sempre sentita denominare come "ragione" della serie (o anche della progressione) geometrica.

Solamente a titolo di richiamo mnemonico:

una successione ${a_i}_{i in NN}$ costituisce una progressione geometrica se vale:

$(a_2)/(a_1)=(a_3)/(a_2)=(a_4)/(a_3)=...=(a_i)/(a_(i-1))=q$ (dove $q$ indica la ragione della progressione geometrica).

Si noti che vale: $a_i=a_1*q^(i-1)$

Somma dei termini di una progressione geometrica.

Si supponga di voler calcolare $S=sum_{i=1}^n a_i$, con ${a_i}_{i in NN}$ progressione geometrica.

Si ha:

(1): $S=a_1+a_2+....+a_(n-1)+a_n$

Moltiplicando entrambi i membri per la ragione $q$ si ottiene:

$qS=qa_1+qa_2+....+qa_(n-1)+qa_n$

cioè:

(2): $qS=a_2+a_3+....+a_n+qa_n$

Sottraendo membro a membro dalla relazione (1) la relazione (2), si ottiene:

$S-qS=a_1-qa_n=a_1-q*a_1*q^(n-1)=a_1*(1-q^n)$

cioè:

$S*(1-q)=a_1*(1-q^n)$

Ammettendo che $q!=1$ (altrimenti la progressione geometrica sarebbe costante, nel qual caso basterebbe moltiplicare il primo termine della progressione per il numero di termini della stessa), si ricava:

$S=sum_{i=1}^n a_i=a_1*(1-q^n)/(1-q)$

Nel caso della serie geometrica si deve considerare $n to +oo$

È facile dedurre che la serie converge quando $q$ (in valore assoluto) assume valori minori di $1$, nel qual caso si ottiene:

$sum_{i=1}^{+oo} a_i=a_1/(1-q)$

Spero di aver risposto esaurientemente alla domanda, almeno per quanto riguarda le serie geometriche.

Saluti.