Es.7(10) derivate ed applicazioni, da [tex]\sqrt{1-\frac{1}{2}x^2+o(x^2)}-1[/tex] a [tex]1-\frac{1}{4}x^2+o(x^2)-1[/tex]

[Caterpillar]

Utilizzando gli sviluppi di Taylor, sto calcolando

La soluzione ufficiale è

al denominatore, \( \displaystyle \sqrt{1-\frac{1}{2}x^2+o(x^2)}-1 \) non riesco a capire come faccia a liberarsi della radice facendolo diventare
\( \displaystyle 1-\frac{1}{4}x^2+o(x^2)-1 \)
soprattutto non mi quadra come gestisce il segno meno davanti a $1/2x^2$

[francicko]

Facendo l'asintotico della radice:
in generale si ha che, $(1+t_(x))^(alpha)-1$ è asintotico ad $alphat_x$, dove $t_x$ è un infinitesimo per $x->0$.
In fin dei conti, come puoi vedere, l'asintotico altro non è che lo sviluppo in serie di taylor in $x=0$ della radice $root(alpha)(1+t_x)$ arrestata al primo termine;
nel caso specifico dove $alpha=1/2$, avrai quindi:

$(1-(1/2)x^2+..)^(1/2)-1=(1+(1/2)(-1/2)x^2+....)-1=-(1/4)x^2+...$;

pertanto ritornando al limite avrai $lim_(x->0)(-x^2/2)/(-x^2/4)=4/2=2$.
Spero che la mia spiegazione, sia chiara.

[Caterpillar]

Spero che la mia spiegazione, sia chiara.

Sì, grazie mille