Es.1(1) integrali: scomposizione in fratti semplici

[Caterpillar]

Sto svolgendo l'esercizio

la quale soluzione è (aprire immagine in una nuova tab se troncata) :

per la scomposizione in fratti semplici sto proseguendo in tal maniera
\( \displaystyle \frac{2x+1}{x(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2+1}=\frac{Ax^2+Bx+A}{x(x^2+1)} \)
$\{(A=0),(B=2),(A=1):}$
tuttavia il fattoche $A$ assuma due diversi valori nello stesso sistema, mi fa capire che la strada da me seguita è sbagliata

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$\frac{2x+1}{x(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=\frac{Ax^2+ A+Bx^2+Cx}{x(x^2+1)}$

ponendo in evidenza le potenze della variabile indipendente:

$\{(A+B=0),(C=2),(A=1):}$

$\{(A=1),(B=-1),(C=2):}$

[Caterpillar]

L'avere Bx+C al numeratore del secondo membro del secondo passaggio, è dovuto al fatto di avere $x^2$ al denominatore giusto?

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si, ad ogni fattore al denominatore del tipo $(ax+b)^n$ si associa un numeratore di grado zero (una costante), ad ogni fattore del tipo $(ax^2+bx+c)^n$ si associa come numeratore un polinomio di grado 1.