Salve, dovrei risolvere questi esercizi sugli spazi metrici e sto trovando qualche difficoltà. Chi potrebbe aiutarmi?
1. Nello spazio metrico $RR^2$, munito dell'usuale distanza euclidea, si consideri l'insieme $A = {(x,y) in RR^2: x in QQ, y in RR|QQ}$ e se ne trovino l'interno, la chiusura, la frontiera e i punti di accumulazione per $A$ in $RR^2$.
Io ho pensato che l'interno è l'insieme vuoto poichè, essendo $QQ$ e $RR|QQ$ densi in $RR$, è impossibile trovare una palla centrata in un punto di $A$ che contenga solo elementi di $A$, ovvero con ascissa in $QQ$ e ordinata in $RR|QQ$. La chiusura è tutto $RR^2$ poichè ogni palla centrata in un punto di $RR^2$, sempre per la densità dei razionali e degli irrazionali, contiene almeno un elemento di $A$. Stesso ragionamento per i punti di accumulazione per $A$ che quindi risultano tutti i punti di $RR^2$. La frontiera è data dalla differenza tra $A$ e il suo interno ed è quindi $A$. Confermate?
2. Siano $E$ ed $E'$ due spazi metrici, e $f : E → E'$ una funzione continua. Preso un aperto $A$ di $E$ e un aperto $A'$ di $E'$, stabilire se le seguenti proposizioni sono vere o false, giustificando le risposte.
a) L’insieme $f(A)$ è aperto.
b) L’insieme $f^-1(A')$ è aperto.
Questo non so nemmeno da dove iniziare, conosco le definizioni di insieme aperto e funzione continua ma non riesco a collegare le due cose. L'intuito mi dice che una funzione continua manda insiemi aperti in insiemi aperti ma come faccio a dimostrarlo?
3. Dato $a > 0$, dimostrare che l’insieme ${(x,y) ∈ RR^2 : sinx = a^y}$ è chiuso in $RR^2$.
Affinchè sussista l'uguaglianza deve verificarsi $sinx>0$ e $-1<=a^y<=1$, trovando ${(x,y) ∈ RR^2 : 2kpi<x<pi+2kpi , y<=0}$
Affinchè sia un insieme chiuso, deve verificarsi che l'insieme coincida con l'insieme dei punti aderenti (chiusura). L'intuito però mi posta a pensare che tutti i punti di ascissa $pi+2kpi$ siano aderenti, in quanto è possibile centrare in questi una palla che mi interseca l'insieme, per qualsiasi raggio, ma non appartengono all'insieme, pertanto insieme e chiusura non coincidono. Dove sbaglio?
Per favore, datemi una mano!