Simmetrizzazione

[curcio89]

Buon pomeriggio a tutti,

Sono uno studente della laurea migistrale in fisica e ho un dubbio che non riesco proprio a risolvere. Vagando su siti e forum(compreso questo) non sono riuscito a trovare una chiara spiegazione del perchè di questo passaggio:

Mi ritrovo con un integrale quadruplo sul prodotto
$ Delta [varphi 1'*varphi 2'-varphi 1*varphi 2]*[1+log varphi 1] $
dato che il primo termine $ Delta[...] $ è simmetrico nello scambio $ 1harr 2 $ allora simmetrizza il secondo termine:
$ [1+log varphi 1]=1/2[(1+logvarphi 1+logvarphi 2)+(1+logvarphi 1-logvarphi 2)] $
tenendo solo il termine con le somme soltanto, così che:
$ Delta [varphi 1'*varphi 2'-varphi 1*varphi 2]*1/2(1+logvarphi 1+logvarphi 2) $

se sapeste darmi anche solo un input su quale sia in generale il metodo di simmetrizzazioni in questo caso, e perchè l'integrale resti invariato, ve ne sarei molto grato.

grazie mille in anticipo,

Matteo

[dissonance]

Secondo me è più facile di quello che sembra. Devi dimostrare che questo integrale si annulla:

\[
I=\iiiint \Delta \left(\phi_1 \phi_2 - \phi_1' \phi_2' \right) \left(1+ \log\phi_1 - \log \phi_2 \right)\, d\phi_1 d\phi_2 d\phi_1' d\phi_2' .
\]

Usando il cambio di variabili che dicevi sopra, si ottiene che \(I=-I\).